개념 해결 의 법칙 고등 수학 상 답지 | 2021 개념해결의 법칙 고등상 P50-58인수분해 답을 믿으세요

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개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2022) 답지 – 세상의 모든 답안지

개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2022) 답지 교재소개 1. 기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생들에게 적합한 교재이다. 2.

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Source: wlsntus22.tistory.com

Date Published: 8/18/2021

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개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지 교재소개 1. 기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생들에게 적합한 교재이다. 2.

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Source: ppakssam.tistory.com

Date Published: 11/14/2022

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2020 개념해결의법칙 수학상 답지 정답

[ 교재 표지 확인하세요! ] 개념 해결의 법칙 고등 수학상. 첫 번째 이야기 : 책 …

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Source: caac.tistory.com

Date Published: 4/15/2022

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2020 개념 해결의 법칙 고등 수학 상 답지

2020 개념 해결의 법칙 고등 수학 상 답지 … 수학교재는 보통 개념서와 유형서로 나뉩니다. 이 책 또한 그렇습니다. 요즘에는 단순하게 짜여진 커리큘럼이 …

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Source: dapjibook.com

Date Published: 2/14/2021

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2020년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정) 답지

dl.dabji.org/1vsDUqFYHDDSNXqfgvk2MugMcNFZMPIUj 개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정).pdf 다운로드 | 답지저장소 dl.dabji.org 더보기 정답과 …

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Source: dabji.org

Date Published: 12/22/2022

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개념 해결의 법칙 고등 수학(상)(2023) – 교보문고

개념 해결의 법칙 고등 수학(상)(2023). 개정판. 천재교육 편집부 지음 | 천재교육 | 2019년 10월 15일 출간. Klover. 총 4 중. 4 9.8 (리뷰 22개). Klover.

+ 더 읽기

Source: www.kyobobook.co.kr

Date Published: 7/28/2022

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개념 해결의 법칙 고등 수학1(2023) – 도서 – 인터파크

개념 해결의 법칙 고등 수학1(2023). 쉽게 시작하는 기존 개념서. 최용준, 해법수학연구회 저 천재교육 2020.05.15. 판매지수 74. 별점9.8.

+ 더 읽기

Source: mbook.interpark.com

Date Published: 9/7/2022

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2021 개념해결의 법칙 고등상 P50-58인수분해
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주제에 대한 기사 평가 개념 해결 의 법칙 고등 수학 상 답지

  • Author: 김동욱
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  • Date Published: 2021. 10. 12.
  • Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=ROe8rjyXFx8

개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2022) 답지

교재소개

1. 기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생들에게 적합한 교재이다.

2. 쉽고 빠르게 기본 실력을 다지는데 중점을 두었다.

3. 쉬운 문제부터 풀어나가며 기본 원리를 확실하게 익힐 수 있다.

4. 반복 연습을 통해 문제 해결 능력을 기를 수 있다.

개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

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개념 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

교재소개

1. 기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생들에게 적합한 교재이다.

2. 쉽고 빠르게 기본 실력을 다지는데 중점을 두었다.

3. 쉬운 문제부터 풀어나가며 기본 원리를 확실하게 익힐 수 있다.

4. 반복 연습을 통해 문제 해결 능력을 기를 수 있다.

상세정보

학년고1년도2021과목수학저자최용준, 해법수학연구회판형220*297쪽수448쪽

교재특징

교재 소개

쉽게 시작하는 기본 개념서

교재 특장점

1. 핵심 개념 정리와 이해하기 쉬운 설명

2. 학습에 꼭 필요한 필수 유형 제시

3. 꼼꼼하고 자세한 풀이

주요 대상

1. 기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생

2. 쉬운 교재로 개념을 익히고 싶은 학생

교재목차

I 다항식

1 다항식의 연산

2 항등식과 나머지정리

3 인수분해

II 방정식과 부등식

4 복소수

5 이차방정식

6 이차방정식과 이차함수

7 삼차방정식과 사차방정식

8 연립방정식과 부정방정식

9 연립일차부등식

10 이차부등식과 연립이차부등식

III 도형의 방정식

11 평면좌표

12 직선의 방정식

13 원의 방정식

14 도형의 이동

교재구성

본문+해설

개념_해결의_법칙_고등수학(상)_정답과_해설_opt.pdf 5.55MB

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2020 개념해결의법칙 수학상 답지 정답

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이번에는 개념 해결의 법칙 수학상 답지 정답입니다.

개념 해결의 법칙은 교과서 수준의 개념을 정복하는 교재입니다.

2015 개정 교육과정이 반영되어 있습니다.

저작권은 해당 출판사에 있습니다.

개념 해결의 법칙 수학상 답지는 아래로 내리면 있습니다. ^^

[ 교재 표지 확인하세요! ]

개념 해결의 법칙 고등 수학상

첫 번째 이야기 : 책 소개

기초 실력을 다지고 교과서 수준을 마스터하려는 학생들에게 적합한 교재입니다. 쉽고 빠르게 기본 실력을 다지는데 중점을 두었습니다. 쉬운 문젭터 풀어나가며 기본 원리를 확실하게 익힐 수 있습니다. 반복 연습을 통해 문제 해결 능력을 기를 수 있습니다. 기초 실력을 다지려 하는 학생들과 쉬운 교재로 개념을 익히고 싶은 학생들에게 좋은 교재입니다.

두 번째 이야기 : 교재 특징

핵심 개념 정리와 이해하기 쉬운 설명으로 제작하였습니다. 학습에 꼭 필요한 필수 유형들을 제시하였습니다. 꼼꼼하고 자세한 풀이로 예제부터 실전 문제까지 스스로 학습할 수 있습니다.

개념 해결의 법칙 수학상 답지, 개념 해결의 법칙 수학상 정답, 개념 해결의 법칙 수학상 해설을 올려드립니다.

업로드한 자료는 반드시 답안 확인 및 오답 체크에만 사용하셨으면 좋겠습니다.

개념 해결의 법칙 수학상 답지 정답은 아래 있으니 다운받아 확인하세요.^^

PDF 파일이므로 PDF 뷰어는 따로 받으시고 나서 답지를 받아 사용하시기 바랍니다.

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블로거에게 많은 도움이 됩니다.

수상.pdf 2.16MB

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2020 개념 해결의 법칙 고등 수학 상 답지

수학교재는 보통 개념서와 유형서로 나뉩니다. 이 책 또한 그렇습니다. 요즘에는 단순하게 짜여진 커리큘럼이 아니라 연구를 통해서 만들어진 책입니다. 공부를 하는데 최적화 되어 있어서 학생들이 공부를 하는데 좀 더 빠르게 습득할수 있도록 돕습니다. 핵심과 개념 정리를 한번에 할수 있는 책이 개념 해결의 법칙입니다. 기초를 다지기 위해서는 꼭 필요한 개념을 설명해 놓았기 때문에 선행학습 용으로도 적합하다고 할수 있습니다. 아래에 개념 해결의 법칙 고등 수학 상 답지가 있습니다.

수학 공부를 요령을 피워서 하기 보다는 많은 문제를 풀어보고 그것을 내것으로 만들 수 있는 일이 필요합니다. 그렇지 않고 계속 요령만 생각하게 되면 실력은 오르지 않습니다. 공부를 잘하는 학생은 못하는 학생보다 더 많은 문제를 풀어보았을 확률이 높습니다. 그러니까 많은 문제를 풀고 이해하는 것 만으로도 큰 도움이 됩니다.

위를 보면 개념 해결의 법칙 고등 수학 상 답지가 있습니다. 와이파이를 연결해서 다운로드 해주세요. 그러면 좀 더 쾌적하게 확인할수 있습니다. Pdf 파일로 된 답지입니다. 웹사이트에서 볼수 있도록 구글 드라이브와 연결해 두었습니다. Pc로 파일을 다운로드해서 보기 위해서는 pdf 뷰어가 필요합니다.

2020년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정) 답지

정답과

해설

I 다항식

1 | 다항식의 연산

2 | 항등식과 나머지정리

3 | 인수분해

II 방정식과 부등식

4 | 복소수

5 | 이차방정식

6 | 이차방정식과 이차함수

7 | 삼차방정식과 사차방정식

8 | 연립방정식과 부정방정식

9 | 연립일차부등식

10 | 이차부등식과 연립이차부등식

III 도형의 방정식

11 | 평면좌표

12 | 직선의 방정식

13 | 원의 방정식

14 | 도형의 이동

002

010

017

022

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039

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064

072

083

089

101

114

⑵ A-2B =(x‹+x€-x-5)-2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5-4x‹+4x€-6x

=-3x‹+5x€-7x-5

⑶ 2A+B =2(x‹+x€-x-5)+(2x‹-2x€+3x)

=2x‹+2x€-2x-10+2x‹-2x€+3x

=4x‹+x-10

⑷ 3A-B =3(x‹+x€-x-5)-(2x‹-2x€+3x)

=3x‹+3x€-3x-15-2x‹+2x€-3x

=x‹+5x€-6x-15

4 ⑴ A+3B =(-x€+3xy-5y€)+3(2x€+xy+3y€)

=-x€+3xy-5y€+6x€+3xy+9y€

=5x€+6xy+4y€

⑵ 2A-B =2(-x€+3xy-5y€)-(2x€+xy+3y€)

=-2x€+6xy-10y€-2x€-xy-3y€

=-4x€+5xy-13y€

⑶ 3A+B =3(-x€+3xy-5y€)+(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€+2x€+xy+3y€

=-x€+10xy-12y€

⑷ 3A-2B =3(-x€+3xy-5y€)-2(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€-4x€-2xy-6y€

=-7x€+7xy-21y€

1

| 다항식의 연산

1

다항식의 덧셈과 뺄셈

개념 확인

8쪽~9쪽

1 ⑴ 3x€y‹+2xy-5y€+1 ⑵ 1-5y€+2xy+3x€y‹

⑶ 3x€y‹-5y€+2xy+1 ⑷ 1+2xy-5y€+3x€y‹

2 ⑴ 3x€-2x+2 ⑵ 3x€-10x+7

2 ⑴ A+B =(2x€-4x+3)+(x€+2x-1)

=2x€-4x+3+x€+2x-1

=(2x€+x€)+(-4x+2x)+3-1

=3x€-2x+2

⑵ 2A-B =2(2x€-4x+3)-(x€+2x-1)

=4x€-8x+6-x€-2x+1

=(4x€-x€)+(-8x-2x)+6+1

=3x€-10x+7

STEP

1

개념 드릴

| 10쪽 |

1 ⑴ 3x€-x+1 ⑵ 4x‹+x€-5x+2

1 ⑶ -x€+(2y+1)x+3y€-5 ⑷ 2x€-4xy+y€+2

2 ⑴ 5+x-3x€ ⑵ 4-3x+2x€+x‹

1 ⑶ -2y-xy+4x€+x‹ ⑷ y€+(3y-1)x+2x€

3 ⑴ 5x‹-3x€+5x-5 ⑵ -3x‹+5x€-7x-5

1 ⑶ 4x‹+x-10 ⑷ x‹+5x€-6x-15

4 ⑴ 5x€+6xy+4y€ ⑵ -4x€+5xy-13y€

1 ⑶ -x€+10xy-12y€ ⑷ -7x€+7xy-21y€

STEP

2

필수 유형

| 11쪽 |

01-1  ⑴ -8x€+2xy+16y€ ⑵ 24x€-12xy-6y€

|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

1 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리

2xy-1+2x€-6xy+3+y€ =-4xy+2+2x€+y€

-6xy

2xy

-1

+3

=2(3x€-2xy+4y€-5x€+3xy-y€-2x€+5y€)

=2{(3x€-2xy+4y€)-(5x€-3xy+y€)-(2x€-5y€)}

하면

하면

=2x€-4xy+y€+2

2 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 오름차순으로 정리

2x€-xy+y€+4xy-x =2x€+3xy+y€-x

-xy +4xy

=6A+2(-3A+2B+C)

=y€+(3y-1)x+2x€

=6A-6A+4B+2C

⑴ A-{B+2C-(A-B)}

=A-(B+2C-A+B)

=A-(-A+2B+2C)

=A+A-2B-2C

=2(A-B-C)

=2(-4x€+xy+8y€)

=-8x€+2xy+16y€

⑵ 6A+2{B+C-(3A-B)}

=6A+2(B+C-3A+B)

=4B+2C

=4(5x€-3xy+y€)+2(2x€-5y€)

=20x€-12xy+4y€+4x€-10y€

=24x€-12xy-6y€

3 ⑴ A+2B =(x‹+x€-x-5)+2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5+4x‹-4x€+6x

=5x‹-3x€+5x-5

002 정답과 해설

주어진 식에 세 다항식 A, B, C를 바로 대입하여 계산해도 되지만, 주어진

식을 먼저 간단히 정리한 후 세 다항식 A, B, C를 대입하는 것이 계산 실수

참고

를 줄일 수 있다.

3 ⑴ ① a€+b€ =(a-b)€+2ab

=2€+2_(-1)=2

② a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=2‹+3_(-1)_2=2

01-2  -x‹+6x€-10x+10

|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

⑵ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=3€-2_2=5

개념 확인

12쪽~14쪽

3 ⑴ 4a€-4+

⑵ x€-25y€ ⑶ 6x€-x-2 ⑷ x›-16

1

a€

A-2(X-B)=3A에서

A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B

∴ X =-A+B

=-(x‹-3x€+x-4)+(3x€-9x+6)

=-x‹+3x€-x+4+3x€-9x+6

=-x‹+6x€-10x+10

2

다항식의 곱셈

1 ⑴ 6x€-13x-5 ⑵ 2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2 ⑴ a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca ⑵ x‹+9x€+27x+27

⑶ a‹-6a€b+12ab€-8b‹ ⑷ x‹+64

⑸ x‹+2x€-5x-6 ⑹ x›+x€+1

3 ⑴ ① 2 ② 2 ⑵ 5

1 ⑴ (2x-5)(3x+1)

=6x€+2x-15x-5

=6x€-13x-5

⑵ (x+2y)(2x+xy-3y)

=2x€+x€y-3xy+4xy+2xy€-6y€

=2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2 ⑴ (a+b+2c)€

=a€+b€+(2c)€+2_a_b+2_b_2c+2_2c_a

=a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca

⑵ (x+3)‹ =x‹+3_x€_3+3_x_3€+3‹

=x‹+9x€+27x+27

⑶ (a-2b)‹ =a‹-3_a€_2b+3_a_(2b)€-(2b)‹

=a‹-6a€b+12ab€-8b‹

⑷ (x+4)(x€-4x+16) =(x+4)(x€-4_x+4€)

=x‹+4‹

=x‹+64

⑸ (x+1)(x-2)(x+3)

STEP

1

개념 드릴

| 15쪽 |

1 ⑴ -a‡ ⑵ 12a›bfi ⑶ xflyfi ⑷ -27x°y›

2 ⑴ -2x‹+2x ⑵ -6xfi+3x›+3x€

2 ⑶ a‹b-2a€b-ab‹ ⑷ -2x‹+2x€y€+3xy-3y‹

2 ⑸ 3a€+8ab-3b€ ⑹ x‹-2x€y+2xy€-y‹

4 ⑴ a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca ⑵ 8a‹-12a€b+6ab€-b‹

2 ⑶ 8x‹-1 ⑷ x‹y‹+8 ⑸ a‹-b‹+c‹+3abc

2 ⑹ x›+4x€y€+16y›

1 ⑴ (-a)‹_a›=-a‹_a›=-a‡

⑵ (-2ab€)€_3a€b =4a€b›_3a€b

=12a›bfi

⑶ x€y‹_(-x€y)€=x€y‹_x›y€=xflyfi

⑷ (-xy)€_(-3x€)‹_y€ =x€y€_(-27xfl)_y€

=-27x°y›

2 ⑸ (3a-b)(a+3b)

=3a€+9ab-ab-3b€

=3a€+8ab-3b€

⑹ (x€-xy+y€)(x-y)

=x‹-x€y-x€y+xy€+xy€-y‹

=x‹-2x€y+2xy€-y‹

3 ⑴ {2a-;a!;}

€=(2a)€-2_2a_;a!;+{;a!;}

=4a€-4+

1

a€

⑵ (x+5y)(x-5y) =x€-(5y)€

=x€-25y€

=x‹+(1-2+3)x€+{1_(-2)+(-2)_3+3_1}x

⑶ (2x+1)(3x-2)

=x‹+2x€-5x-6

=6x€-x-2

⑹ (x€+x+1)(x€-x+1) =(x€+x_1+1€)(x€-x_1+1€)

⑷ (x-2)(x+2)(x€+4) =(x€-4)(x€+4)

+1_(-2)_3

=2_3_x€+{2_(-2)+1_3}x+1_(-2)

=x›+x€_1€+1›

=x›+x€+1

=(x€)€-4€

=x›-16

1 다항식의 연산 003

4 ⑴ (a-b+2c)€

=a€+(-b)€+(2c)€+2_a_(-b)

02-1  ⑴ x€+4y€+4xy-2x-4y+1

⑵ 27x‹+54x€y+36xy€+8y‹ ⑶ 8x‹-27

+2_(-b)_2c+2_2c_a

⑷ x‹+8y‹+27z‹-18xyz ⑸ x°-y°

=a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca

⑵ (2a-b)‹

|해결 전략 | 곱셈 공식을 이용하여 주어진 식을 전개한다.

⑴ (x+2y-1)€ =x€+(2y)€+(-1)€+2_x_2y

=(2a)‹-3_(2a)€_b+3_2a_b€-b‹

+2_2y_(-1)+2_(-1)_x

=8a‹-12a€b+6ab€-b‹

=x€+4y€+4xy-2x-4y+1

⑶ (2x-1)(4x€+2x+1) =(2x)‹-1‹

⑵ (3x+2y)‹=(3x)‹+3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€+(2y)‹

⑷ (xy+2)(x€y€-2xy+4) =(xy+2){(xy)€-xy_2+2€}

⑶ (2x-3)(4x€+6x+9) =(2x-3){(2x)€+2x_3+3€}

=27x‹+54x€y+36xy€+8y‹

=(2x)‹-3‹

=8x‹-27

⑸ (a-b+c)(a€+b€+c€+ab+bc-ca)

⑷ (x+2y+3z)(x€+4y€+9z€-2xy-6yz-3zx)

=(a-b+c){a€+(-b)€+c€-a_(-b)-(-b)_c-c_a}

=(x+2y+3z){x€+(2y)€+(3z)€-x_2y-2y_3z-3z_x}

=a‹+(-b)‹+c‹-3_a_(-b)_c

=x‹+(2y)‹+(3z)‹-3_x_2y_3z

=a‹-b‹+c‹+3abc

⑹ (x€+2xy+4y€)(x€-2xy+4y€)

=x‹+8y‹+27z‹-18xyz

⑸ (x-y)(x+y)(x€+y€)(x›+y›)

={x€+x_2y+(2y)€}{x€-x_2y+(2y)€}

=(x€-y€)(x€+y€)(x›+y›)

=x›+x€_(2y)€+(2y)›

=x›+4x€y€+16y›

=(x›-y›)(x›+y›)

=x°-y°

=8x‹-1

=(xy)‹+2‹

=x‹y‹+8

STEP

2

필수 유형

| 16쪽~21쪽 |

(x+2y)‹(x-y)

={x‹+3_x€_2y+3_x_(2y)€+(2y)‹}(x-y)

02-2  5

|해결 전략 | 먼저 (x+2y)‹을 전개한 후 주어진 식에서 x‹y의 계수를 구한다.

01-1  ⑴ -15 ⑵ -10

|해결 전략 | 특정항이 나오는 항들만 전개한다.

⑴ (x€-3x+5)(2x€-x+1)의 전개식에서

x‹항은 x€_(-x)-3x_2x€=-7x‹

x항은 -3x_1+5_(-x)=-8x

⑵ (x€-2x+4)(x‹-x€-3)의 전개식에서

x›항은 x€_(-x€)-2x_x‹=-3x›

∴ a=-7

∴ b=-8

∴ a+b=-15

∴ a=-3

∴ b=-7

∴ a+b=-10

01-2  6

|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹의 계수가 -5이므로

1-k=-5

∴ k=6

004 정답과 해설

x€항은 x€_(-3)+4_(-x€)=-7x€

=X€-2X-3

(x€-kx+3)(x‹+x€-2x+1)의 전개식에서

=x€-X€

x‹항은 x€_(-2x)-kx_x€+3_x‹=(1-k)x‹

=(x‹+6x€y+12xy€+8y‹)(x-y)

의 전개식에서 x‹y항은

x‹_(-y)+6x€y_x=5x‹y

따라서 x‹y의 계수는 5이다.

03-1  ⑴ x›+2x‹-x€-2x-3

⑶ x›+2x‹-11x€-12x

⑵ x€-y€-z€+2yz

|해결 전략 | ⑴, ⑵ 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.

⑶ 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

⑴ (x€+x+1)(x€+x-3)

=(X+1)(X-3)

x€+x=X로 치환

=(x€+x)€-2(x€+x)-3

X=x€+x 대입

=x›+2x‹+x€-2x€-2x-3

=x›+2x‹-x€-2x-3

⑵ (x+y-z)(x-y+z)

={x+(y-z)}{x-(y-z)}

=(x+X)(x-X)

y-z=X로 치환

=x€-(y-z)€

X=y-z 대입

=x€-(y€-2yz+z€)

=x€-y€-z€+2yz

⑶ x(x+1)(x-3)(x+4)

={x(x+1)}{(x-3)(x+4)}

=(x€+x)(x€+x-12)

=X(X-12)

x€+x=X로 치환

=X€-12X

=(x€+x)€-12(x€+x)

X=x€+x 대입

=x›+2x‹+x€-12x€-12x

=x›+2x‹-11x€-12x

04-1  ⑴ 4 ⑵ 13 ⑶ 20

|해결 전략 | ⑴ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑵, ⑶ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 xy, ab의 값을 구한다.

⑴ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)에서

16=4‹-3ab_4, 12ab=48

∴ ab=4

⑵ x‹+y‹=(x+y)‹-3xy(x+y)에서

35=5‹-3xy_5, 15xy=90

∴ xy=6

∴ x€+y€ =(x+y)€-2xy

=5€-2_6=13

⑶ a€+b€=(a-b)€+2ab에서

8=2€+2ab, 2ab=4

∴ ab=2

∴ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=2‹+3_2_2=20

04-2  ⑴ ‘ß13 ⑵ 36

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ {x+;x!;}

€={x-;x!;}

€+4=3€+4=13

∴ x+;x!;=’ß13 (∵ x>0)

⑵ x‹-

1

x‹

={x-;x!;}

‹+3{x-;x!;}=3‹+3_3=36

05-2  1

1

a

|해결 전략 |

ab+bc+ca의 값을 구한다.

+

+

=

1

c

ab+bc+ca

abc

1

b

이므로 곱셈 공식의 변형을 이용하여

a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서

18=4€-2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-1

∴ 1

a

+

+

=

1

b

1

c

ab+bc+ca

abc

=

-1

-1

=1

06-1  999902

|해결 전략 | 반복되는 수를 같은 문자로 생각한다.

100=a로 놓으면

101_(10000-100+1)-99 =(a+1)(a€-a+1)-(a-1)

=(a‹+1)-(a-1)=a‹-a+2

=100‹-100+2=999902

06-2  ;1@2%8%;

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식에 2{1-;2!;}

주어진 식에 2{1-;2!;}=1을 곱하면

1

2› }=2{1-

2{1-;2!;}{1+;2!;}{1+

1

2€ }{1+

을 곱한다.

1

2› }

1

2€ }{1+

1

2› }

1

2€ }{1+

1

2› }{1+

1

2° }

2°-1

=;1@2%8%;

=2{1-

=2{1-

=2_

3

다항식의 나눗셈

개념 확인

22쪽~23쪽

1 ⑴ 몫: x+3, 나머지: 2 ⑵ 몫: 2x+2, 나머지: -1

05-1  ⑴ -6 ⑵ 32 ⑶ 52

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ x€+y€+z€=(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)에서

16=2€-2(xy+yz+zx)

∴ xy+yz+zx=-6

⑵ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=2{16-(-6)}+3_(-4)

=32

⑶ x€y€+y€z€+z€x€ =(xy)€+(yz)€+(zx)€

=(xy+yz+zx)€-2(xy€z+yz€x+zx€y)

=(xy+yz+zx)€-2xyz(x+y+z)

=(-6)€-2_(-4)_2

=52

2 ⑴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

2 ⑵ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

1 ⑴

x +3

x+1œ∑x€+4x+5

x€+ x

3x+5

3x+3

2

∴ 몫: x+3, 나머지: 2

1 다항식의 연산 005

2x +2

x-1œ∑2x€

-3

2x€-2x

2x-3

2x-2

-1

∴ 몫: 2x+2, 나머지: -1

2 ⑴ -2 2

2

-4

2 -2

0 -1

4 -8

4 -9

∴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

⑵ -2 2

1 -3

-4

2 -3

4

6 -6

3 -2

2x‹+x€-3x+4=(x+2)(2x€-3x+3)-2

=3(x+2){;3@;x€-x+1}-2

=(3x+6){;3@;x€-x+1}-2

∴ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

STEP

1

개념 드릴

1 풀이 참조

2 ⑸ 몫: x€-;2%;x, 나머지: -1

1 ⑴

x€

+4

x-2œ∑x‹-2x€+4x+1

x‹-2x€

4x+1

4x-8

9

Q=x€+4, R=9이므로

x‹-2x€+4x+1=(x-2)(x€+4)+9

4x€-5x + 5

x+2œ∑4x‹+3x€- 5x+ 2

4x‹+8x€

∑ -5x€- 5x

-5x€-10x

5x+ 2

5x+10

-8

Q=4x€-5x+5, R=-8이므로

4x‹+3x€-5x+2=(x+2)(4x€-5x+5)-8

006 정답과 해설

2x€+2x +5

x-1œ∑2x‹

+3x+4

2x‹-2x€

2x€+3x

2x€-2x

5x+4

5x-5

9

Q=2x€+2x+5, R=9이므로

2x‹+3x+4=(x-1)(2x€+2x+5)+9

2x +1

x€+x+1œ∑2x‹+3x€+2x-1

2x‹+2x€+2x

-1

x€

x€+ x+1

– x-2

Q=2x+1, R=-x-2이므로

2x‹+3x€+2x-1=(x€+x+1)(2x+1)-x-2

2 ⑴ -1 2 -3

-2

2 -5

4

1

5 -9

9 -8

∴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8

⑵ 2 1

0 -6

2

2 -2

8

4 -4

4

1

∴ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

⑶ 3 2 -5

6

1

2

2

9

3

3 11

| 24쪽 |

⑷ -2 1

0 -2

-2

1 -2

3

4 -4

2 -1

x‹-2x+3=(x+2)(x€-2x+2)-1

=2(x+2){;2!;x€-x+1}-1

=(2x+4){;2!;x€-x+1}-1

∴ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1

⑸ 1 2 -7

2 -5

5 -1

0 -1

2 -5

2x‹-7x€+5x-1=(x-1)(2x€-5x)-1

=2(x-1){x€-;2%;x}-1

=(2x-2){x€-;2%;x}-1

∴ 몫 : x€-;2%;x, 나머지: -1

2 ⑴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8 ⑵ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

2 ⑶ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11 ⑷ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1

∴ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11

STEP

2

필수 유형

| 25쪽~26쪽 |

3x‹-5x€+2x={x-;3@;}(3x€-3x)

01-1  a=-1, b=2

|해결 전략 | (x›-2x‹+x€-x+1)/(x€-x-1)을 직접 계산한다.

=3{x-;3@;}(x€-x)

=(3x-2)(x€-x)

∴ 몫: x€-x, 나머지: 0

한다.

02-2  몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

|해결 전략 | ÷f(x)={x+;aB;}÷Q(x)+R=(ax+b)_;a!;÷Q(x)+R임을 이용

x€- x+1

x€-x-1œ∑x›-2x‹+ x€- x+1

x›- x‹- x€

∑ – x‹+2x€- x

– x‹+ x€+ x

x€-2x+1

x€- x-1

– x+2

따라서 몫이 x€-x+1, 나머지가 -x+2이므로

a=-1, b=2

÷f(x)={x+;3@;}÷Q(x)+R=;3!;(3x+2)Q(x)+R

=(3x+2)_;3!;Q(x)+R

∴ 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

01-2  몫: x-1, 나머지: -x

|해결 전략 | 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면

A=BQ+R임을 이용한다.

다항식 A를 x+2로 나누었을 때의 몫이 x€-2x-1, 나머지가 5이

따라서 다항식 A를 x€+x-3으로 나누었을 때의 몫과 나머지는

므로

A =(x+2)(x€-2x-1)+5

=x‹-5x+3

x -1

x€+x-3 œ∑x‹ -5x+3

x‹+x€-3x

∑ -x€-2x+3

-x€- x+3

– x

∴ 몫: x-1, 나머지: -x

02-1  ⑴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2

⑵ 몫: x€-x, 나머지: 0

|해결 전략 | 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.

⑴ 조립제법을 이용하여

2x‹+5x€-4x-5를 x+;2!;로

나누면 오른쪽과 같으므로

-;2!;

2

2

5 -4 -5

-1 -2

3

4 -6 -2

2x‹+5x€-4x-5={x+;2!;}(2x€+4x-6)-2

=2{x+;2!;}(x€+2x-3)-2

=(2x+1)(x€+2x-3)-2

∴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2

⑵ 조립제법을 이용하여

3x‹-5x€+2x를 x-;3@;로 나누면

오른쪽과 같으므로

;3@;

3 -5

2

2 -2

3 -3

STEP

3

유형 드릴

| 27쪽~29쪽 |

1-1  -x€+4x+7

|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

B-(C-2A) =B-C+2A

=2A+B-C

=2(2x+1)+(x€+2)-(2x€-3)

=4x+2+x€+2-2x€+3

=-x€+4x+7

참고

일반적으로 다항식의 연산의 결과는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

1-2  11x€-2xy+4y€

|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

X+2(A-2B)=3A에서 X+2A-4B=3A

∴ X =A+4B

=(3x€+2xy-4y€)+4(2x€-xy+2y€)

=3x€+2xy-4y€+8x€-4xy+8y€

=11x€-2xy+4y€

2-1  12

|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹항은 2x€_3x+3x_2x€=12x‹

따라서 x‹의 계수는 12이다.

(2x€+3x-5)€, 즉 (2x€+3x-5)(2x€+3x-5)의 전개식에서

1 다항식의 연산 007

2-2  5

|해결 전략 | x€, x‹항이 나오는 항들만 전개하여 a+b, ab의 값을 구한다.

(x‹+ax€+3)(x€+x+b)의 전개식에서

x€항은 ax€_b+3_x€=(ab+3)x€

x‹항은 x‹_b+ax€_x=(a+b)x‹

x€의 계수와 x‹의 계수가 모두 1이므로

ab+3=1, a+b=1

∴ a+b=1, ab=-2

∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=1€-2_(-2)=5

3-1  ②

|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (a-b)(a+b)=a€-b€

€-

② (3a+2)(4a-5) =12a€-15a+8a-10

=12a€-7a-10

③ (x-3y)‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹

=x‹-A9x€y+27xy€-27y‹

④ (a+3)(a€-3a+9) =(a+3)(a€-a_3+3€)

‹+

=a‹+27

⑤ (x-2y+1)€=x€+(-2y)€+1€+2_x_(-2y)

=x€+4y€-4xy+A2x-4y+1

x-4y

따라서 옳은 것은 ②이다.

+2_(-2y)_1+2_1_x

3-2  ③

|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (-2a+3b)(2a-3b) =-(2a-3b)€

② (x€-3x+5)(2x-1) =2x‹-x€-6x€+3x+10x-5

=-(4a€-12ab+9b€)

=-

=-4a€+12ab-9b€

+12ab

=2x‹-7x€+13x-5

13x

③ (3x-2y)‹ =(3x)‹-3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€-(2y)‹

=27x‹-54x€y+36xy€-8y‹

④ (a-4)(a€+4a+16) =(a-4)(a€+a_4+4€)

-64

=a‹-64

⑤ (a-1)(a+1)(a€-1)=(a€-1)€=a›-2a€+1

2a€+

따라서 옳은 것은 ③이다.

4-1  -1

|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.

(2x€+x-5)(2x€+x+2)

=(X-5)(X+2)

2x€+x=X로 치환

=X€-3X-10

=(2x€+x)€-3(2x€+x)-10

X=2x€+x 대입

=4x›+4x‹+x€-6x€-3x-10

=4x›+4x‹-5x€-3x-10

따라서 a=4, b=-5이므로 a+b=-1

008 정답과 해설

다른 풀이

(2x€+x-5)(2x€+x+2)의 전개식에서

x‹항은 2x€_x+x_2x€=4x‹

∴ a=4

x€항은 2x€_2+x_x-5_2x€=-5x€

∴ b=-5

∴ a+b=-1

4-2  35

|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}

=(x€+5x+4)(x€+5x+6)

=(X+4)(X+6)

x€+5x=X로 치환

=X€+10X+24

=(x€+5x)€+10(x€+5x)+24

X=x€+5x 대입

=x›+10x‹+25x€+10x€+50x+24

=x›+10x‹+35x€+50x+24

따라서 x€의 계수는 35이다.

5-1  26

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 x‹+y‹의 값을 구한다.

x+y=2, xy=-3이므로

x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=2‹-3_(-3)_2=26

5-2  4

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 (x-y)€의 값을 구한다.

x+y=6, xy=5이므로

(x-y)€ =(x+y)€-4xy

=6€-4_5=16

∴ x-y=4 (∵ x>y)

6-1  14

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

a=2+’3, b=2-‘3이므로

a+b=4, ab=1

∴ ;bA;+;aB;=

a€+b€

ab

=

(a+b)€-2ab

ab

=

4€-2_1

1

=14

6-2  14

|해결 전략 | x-y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

x=’2+1, y=’2-1이므로

x-y=2, xy=1

∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=2‹+3_1_2=14

7-1  2’2

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 {a+

€의 값을 구한다.

1

a }

{a+;a!;}

€={a-;a!;}

€+4=2€+4=8

∴ a+;a!;=2’2 (∵ a>0)

9-2  10

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식의 좌변에

;2!;(3-1)을 곱한다.

(3+1)(3€+1)(3›+1)=;2!;(3-1)(3+1)(3€+1)(3›+1)

;2!;(3-1)=1

=;2!;(3€-1)(3€+1)(3›+1)

의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

따라서 a=2, b=8이므로 a+b=10

=;2!;(3›-1)(3›+1)

3°-1

2

=;2!;(3°-1)=

7-2  2’5

|해결 전략 | x+

1

x

{x+;x!;}

€=x€+

1

x€

+2=3+2=5

∴ x+;x!;=’5 (∵ x>0)

∴ x‹+

1

x‹

‹-3{x+;x!;}

={x+;x!;}

=(‘5 )‹-3_’5=2’5

8-1  36

|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

(x+y+z)€=x€+y€+z€+2(xy+yz+zx)에서

6€=14+2(xy+yz+zx)

∴ xy+yz+zx=11

∴ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=6_(14-11)+3_6

=36

8-2  4

|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

xy+yz+zx

;x!;+;y!;+;z!;=0에서

xyz

xy+yz+zx=0 (5 xyz+0)

=0이므로

∴ x€+y€+z€ =(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)

=2€-2_0=4

a⁄fl=100을 대입한다.

(a-1)(a+1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a€-1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a›-1)(a›+1)(a°+1)

=(a°-1)(a°+1)

=a⁄fl-1

이때, a⁄fl=100이므로

a⁄fl-1=100-1=99

10-1  3

|해결 전략 | 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c로 놓고 a,

c

b

a

b, c 사이의 관계식을 구한다.

직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를

각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합

이 20이므로

4(a+b+c)=20

∴ a+b+c=5

또, 직육면체의 겉넓이가 16이므로

∴ ab+bc+ca=8

2(ab+bc+ca)=16

이때, 직육면체의 대각선의 길이는 “ƒa€+b€+c€이고

a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=5€-2_8=9

따라서 직육면체의 대각선의 길이는 ‘9=3

10-2  60

|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b로 놓고 a, b 사이의 관

계식을 구한다.

직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 직사각형의 대

각선의 길이가 13이므로

a€+b€=13€=169

또, 직사각형의 둘레의 길이가 34이므로

2(a+b)=34

∴ a+b=17

이때, a€+b€=(a+b)€-2ab에서

169=17€-2ab

∴ ab=60

따라서 직사각형의 넓이는 60이다.

x +1

x€+4xœ∑x‹+5x€+4x+3

x‹+4x€

x€+4x

x€+4x

3

따라서 몫이 x+1이므로 a=1, b=1

∴ a+b=2

1 다항식의 연산 009

9-1  99

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후

11-1  2

|해결 전략 | (x‹+5x€+4x+3)/(x€+4x)를 직접 계산한다.

11-2  x€+x-2

|해결 전략 | 다항식 2x‹+4x€-7을 다항식 A, 몫, 나머지를 이용하여 나타낸다.

2x‹+4x€-7=A(2x+2)+2x-3이므로

A(2x+2) =(2x‹+4x€-7)-(2x-3)

=2x‹+4x€-2x-4

즉, 다항식 A는 다항식 2x‹+4x€-2x-4를 2x+2로 나누었을 때

의 몫이다.

x€+ x -2

2x+2œ∑2x‹+4x€-2x-4

2x‹+2x€

2x€-2x

2x€+2x

-4x-4

-4x-4

∴ A=x€+x-2

참고

A=BQ+R이다.

머지는 6이다.

x-2로 나누었으므로 c=2

a+4=2이므로 a=-2

d=2c=2_2=4

e=1+d=1+4=5

b+10=6이므로 b=-4

다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R이면

이때, A-R=BQ이므로 B는 A-R를 Q로 나누었을 때의 몫이 된다.

12-1  5

|해결 전략 | 주어진 조립제법에서 각 문자에 해당되는 값을 찾는다.

a+3=b

∴ a=3

⑵ ① 계수비교법

조립제법을 이용하여 다항식

2x‹+ax€+x+b를 x-2로 나누었을 때의

몫과 나머지를 구하면 몫은 2x€+2x+e, 나

c 2 a 1

b

4 d 10

6

e

2

2

32쪽~33쪽

| 항등식과 나머지정리

2

1

항등식

개념 확인

1 ⑴ a=3, b=2 ⑵ a=2, b=-5

2 ⑴ ① a=3, b=6 ② a=3, b=6

2 ⑵ ① a=5, b=-3 ② a=5, b=-3

2 ⑴ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax+a+3=3x+b

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=3, a+3=b

∴ a=3, b=6

② 수치대입법

등식의 양변에 x=-1을 대입하면

3=-3+b

∴ b=6

등식의 양변에 x=0을 대입하면

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

(a+b)x-a-2b=2x+1

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a+b=2, -a-2b=1

두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-3

② 수치대입법

등식의 양변에 x=1을 대입하면

-b=3

∴ b=-3

등식의 양변에 x=2를 대입하면

∴ a+b+c+d+e=-2-4+2+4+5=5

a=5

12-2  몫: x€-x-3, 나머지: -4

|해결 전략 | 다항식 P(x)를 몫과 나머지에 대한 등식으로 나타낸다.

다항식 P(x)를 x-;2%;로 나누었을 때의 몫이 2x€-2x-6, 나머지가

-4이므로

STEP

1

개념 드릴

| 34쪽 |

P(x)={x-;2%;}(2x€-2x-6)-4

=2{x-;2%;}(x€-x-3)-4

=(2x-5)(x€-x-3)-4

-4이다.

010 정답과 해설

따라서 P(x)를 2x-5로 나누었을 때의 몫은 x€-x-3, 나머지는

1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _

2 ⑴ a=-2, b=-3 ⑵ a=-1, b=2, c=0

1 ⑶ a=2, b=4 ⑷ a=5, b=2, c=2

3 ⑴ ① a=2, b=3 ② a=2, b=3

1 ⑵ ① a=1, b=-1 ② a=1, b=-1

1 ⑶ ① a=1, b=2, c=5 ② a=1, b=2, c=5

a+1=0, b-2=0, c=0

∴ a=-1, b=2, c=0

(2k-1)x+(k+3)y=3k-5의 좌변을 k에 대하여 정리하면

1 ⑴ 주어진 등식은 x=-3일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.

⑵ 주어진 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항

이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항등식

등식이다.

⑶ 주어진 등식의 좌변을 전개하면

x€+2x+1=x€+2x+1

이다.

⑷ 주어진 등식의 우변을 전개하면

x€+x+2=x€-x-2

이 식을 정리하면 2x=-4

이 등식은 x=-2일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.

2 ⑴ (a+2)x+b+3=0에서

a+2=0, b+3=0

∴ a=-2, b=-3

⑵ (a+1)x€+(b-2)x+c=0에서

⑶ 3ax+2b=6x+8에서

3a=6, 2b=8

∴ a=2, b=4

⑷ (a-1)x€+(b-3)x+4c=4x€-x+8에서

a-1=4, b-3=-1, 4c=8

∴ a=5, b=2, c=2

3 ⑴ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-2a+b)x+a-2b=2x€-x-4

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=2, -2a+b=-1, a-2b=-4

∴ a=2, b=3

② 수치대입법

등식의 양변에 x=1을 대입하면

-b=-3

∴ b=3

등식의 양변에 x=2를 대입하면

a=2

⑵ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-a+b)x-2b=x€-2x+2

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=1, -a+b=-2, -2b=2

∴ a=1, b=-1

② 수치대입법

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b=2

∴ b=-1

등식의 양변에 x=2를 대입하면 2a=2

∴ a=1

⑶ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-2a+b)x-2b+c=x€+1

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=1, -2a+b=0, -2b+c=1

∴ a=1, b=2, c=5

② 수치대입법

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b+c=1

등식의 양변에 x=1을 대입하면 -a-b+c=2

등식의 양변에 x=2를 대입하면 c=5

∴ a=1, b=2, c=5

STEP

2

필수 유형

| 35쪽~37쪽 |

01-1  x=2, y=-1

|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (

)k+(

) 꼴로 정리한다.

(2x+y)k+(-x+3y)=3k-5

이 등식이 k에 대한 항등식이므로

2x+y=3, -x+3y=-5

∴ x=2, y=-1

01-2  a=3, b=1, c=-1

|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (

)x+(

)y+(

) 꼴로 정리한다.

a(2x+y)+b(x-2y)-1=7x+y+c의 좌변을 x, y에 대하여 정

리하면

(2a+b)x+(a-2b)y-1=7x+y+c

이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로

2a+b=7, a-2b=1, -1=c

∴ a=3, b=1, c=-1

02-1  ⑴ a=3, b=1, c=-2 ⑵ a=1, b=1, c=2

⑶ a=1, b=-2, c=2

|해결 전략 | 전개하기 쉬우면 계수비교법을, 어려우면 수치대입법을 이용한다.

⑴ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

3x€-5x=ax€-(2a-b)x+a-b+c

양변의 동류항의 계수를 비교하면

3=a, 5=2a-b, 0=a-b+c

∴ a=3, b=1, c=-2

⑵ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

x‹+x-2=ax‹+(b-a)x€+(c-b)x-c

양변의 동류항의 계수를 비교하면

1=a, 0=b-a, 1=c-b, 2=c

∴ a=1, b=1, c=2

⑶ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4=-2b

∴ b=-2

등식의 양변에 x=1을 대입하면 6=3c

∴ c=2

등식의 양변에 x=-2를 대입하면 6=6a

∴ a=1

참고

⑶ 계수비교법을 이용할 수도 있지만 우변을 전개하는 것이 복잡하므로 수치

대입법을 이용하는 것이 편리하다.

2 항등식과 나머지정리 011

03-1  a=3, b=6

|해결 전략 | 삼차식을 이차식으로 나누었을 때의 몫을 일차식으로 놓는다.

2

나머지정리와 인수정리

두 식 x‹+ax€+bx-2, x€+2x+3의 최고차항의 계수가 모두 1이

개념 확인

38쪽~39쪽

므로 x‹+ax€+bx-2를 x€+2x+3으로 나누었을 때의 몫을

1 ⑴ 0 ⑵ 6

2 4

1 ⑴ f(-1)=-2-3-1+6=0

⑵ f {;2!;}=;4!;-;4#;+;2!;+6=6

2 f(1)=0에서 1+2-a+1=0

∴ a=4

x+c (c는 상수)로 놓자.

이때, 나머지가 x-5이므로

x‹+ax€+bx-2=(x€+2x+3)(x+c)+x-5

우변을 전개하여 정리하면

x‹+ax€+bx-2=x‹+(c+2)x€+(2c+4)x+3c-5

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=c+2, b=2c+4, -2=3c-5

c=1이므로 a=3, b=6

LECTURE

라 하면

다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)

f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수)) 이때, f(x)가 n차, g(x)가 m차이면 Q(x)는 (n-m)차이고, R(x)는 (m-1)차 이하의 식이다. 예를 들어 f(x)가 4차, g(x)가 2차이면 Q(x)=ax€+bx+c, R(x)=px+q로 놓고 항등식의 성질을 이용하여 Q(x), R(x)를 구한다. 03-2  a=1, b=-1 |해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므 로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 한편, 나누어떨어진다는 것은 나머지 가 0임을 뜻한다. 2x‹+x€+ax+b의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+1의 최고차 항의 계수가 1이므로 2x‹+x€+ax+b를 x€+x+1로 나누었을 때 2x‹+x€+ax+b=2x‹+(c+2)x€+(c+2)x+c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자. 이때, 나머지가 0이므로 2x‹+x€+ax+b=(x€+x+1)(2x+c) 우변을 전개하여 정리하면 1=c+2, a=c+2, b=c c=-1이므로 a=1, b=-1 다른 풀이 직접 나눗셈을 하여 나머지가 0인 것을 이용한다. 2x-1 x€+x+1 œ∑2x‹+ x€+ 2x‹+2x€+ ∑ - x€+(a-2)x+b x-1 ax+b 2x - x€- (a-1)x+b+1 즉, (a-1)x+b+1=0 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-1=0, b+1=0 ∴ a=1, b=-1 012 정답과 해설 STEP 1 개념 드릴 | 40쪽 | 1 ⑴ 3 ⑵ -25 ⑶ -:¡8∞: 2 ⑴ -10 ⑵ 11 ⑶ ;2!; 3 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ -1 4 ⑴ 1 ⑵ -4 ⑶ -1 1 ⑴ f(1)=1+1+2-1=3 ⑵ f(-3)=-27+9-6-1=-25 ⑶ f {-;2!;}=-;8!;+;4!;-1-1=-:¡8∞: 2 ⑴ f(-1)=-2-3-4-1=-10 ⑵ f(2)=16-12+8-1=11 ⑶ f {;2!;}=;4!;-;4#;+2-1=;2!; 3 ⑴ f(-1)=1에서 -1+a+2-1=1 ⑵ f(1)=3에서 2-a+4=3 ∴ a=3 ∴ a=1 ⑶ f {-;3!;}=2에서 ;9!;+;9A;-3+5=2 ;9A;=-;9!; ∴ a=-1 4 ⑴ f(-1)=0에서 -2-a+3=0 ⑵ f(3)=0에서 27+9a+9=0 ∴ a=1 ∴ a=-4 ⑶ f {;2!;}=0에서 ;2!;-;2A;-1=0 ∴ a=-1 ∑ STEP 2 필수 유형 | 41쪽~44쪽 | 03-1  5 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여 01-1  a=10, b=1 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다. f(x)=x‹+ax€+bx-2라 하면 나머지정리에 의하여 f(1)=10, f(-1)=6 f(1)=10에서 1+a+b-2=10 ∴ a+b=11 f(-1)=6에서 -1+a-b-2=6 ∴ a-b=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, b=1 åå ㉠ åå ㉡ 01-2  -10 |해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5임을 이용하여 먼저 상수 a의 값을 구한다. f(x)=-9x‹+ax+1에서 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5이므로 2a 3 2a 3 +1=5, ;3*;- 따라서 f(x)=-9x‹-2x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나 ∴ a=-2 =-;3$; 머지정리에 의하여 f(1)=-9-2+1=-10 ÷f(aa+b)의 값을 구한다. ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(2_1)=÷f(2) 3x-1이므로 ÷f(x)를 2x€-3x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 ÷÷f(x) =(2x€-3x-2)Q(x)+3x-1 =(2x+1)(x-2)Q(x)+3x-1 …… ㉠ ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 ÷f(2)=3_2-1=5 다른 풀이 ㉠의 양변에 x 대신 2x를 대입하면 ÷f(2x) =(4x+1)(2x-2)Q(2x)+6x-1 =2(4x+1)(x-1)Q(2x)+6(x-1)+5 =(x-1){2(4x+1)Q(2x)+6}+5 따라서 ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 5이다. 03-2  20 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여 ÷f(aa+b)의 값을 구한다. ÷f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리에 의 02-1  -x+4 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓는다. 한편, xf(x-2)를 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R …… ㉠ f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 xf(x-2)=(x-5)Q(x)+R 하여 ÷f(3)=4 라 하면 양변에 x=5를 대입하면 R=5÷f(3)=5_4=20 (∵ ㉠) 따라서 구하는 나머지는 20이다. ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+4)(x-2)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(-4)=8, f(2)=2 f(-4)=8에서 -4a+b=8 f(2)=2에서 2a+b=2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 åå ㉠ åå ㉡ 따라서 f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 나머지는 -x+4 이다. 상수)로 놓는다. 02-2  2x+3 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x) =(x€-x-6)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(-2)=-1, f(3)=9 f(-2)=-1에서 -2a+b=-1 f(3)=9에서 3a+b=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 04-1  a=-7, b=6 |해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어떨어지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0이다. ÷f(x)=x‹+ax+b라 하면 ÷f(x)가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어 지므로 ÷f(x)는 x-2, x+3으로 각각 나누어떨어진다. 따라서 인수정리에 의하여 ÷f(2)=0, f(-3)=0 ÷f(2)=0에서 8+2a+b=0 ∴ 2a+b=-8 ÷f(-3)=0에서 -27-3a+b=0 ∴ 3a-b=-27 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6 다른 풀이 åå ㉠ åå ㉡ åå ㉠ åå ㉡ 다항식 x‹+ax+b가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어지므로 x‹+ax+b를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 따라서 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 나머지는 2x+3이다. x‹+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x) 따라서 조립제법을 이용하면 2 항등식과 나머지정리 013 2 -3 1 0 2 2 -3 1 -1 1 a 4 a+4 3 a+7 b 2a+8 2a+b+8 2a+b+8=0, a+7=0이므로 a=-7, b=6 ÷04-2  a=-9, b=12 |해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)를 인수로 가지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0 이다. ÷f(x)=x›+ax€+bx-4라 하면 ÷f(x)는 x€-3x+2, 즉 (x-1)(x-2)를 인수로 갖는다. 따라서 ÷f(x)는 x-1과 x-2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 1-2  -9 |해결 전략 | x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 ax€+by€+6y+3=0에 대입한다. x-y=1에서 x=y+1 åå ㉠ ㉠을 ax€+by€+6y+3=0에 대입하면 a(y+1)€+by€+6y+3=0 ∴ (a+b)y€+(2a+6)y+a+3=0 이 등식이 y에 대한 항등식이므로 a+b=0, 2a+6=0, a+3=0 ∴ a=-3, b=3 ∴ ab=-9 2-1  -6 |해결 전략 | 좌변을 전개하여 양변의 동류항의 계수를 비교한다. 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 3x€+5x-2=(a+1)x€+(b-2)x+c-3 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+1=3, b-2=5, c-3=-2 따라서 a=2, b=7, c=1이므로 a-b-c=-6 åå ㉠ åå ㉡ 다항식 x›+ax€+bx-4가 (x-1)(x-2)로 나누어떨어지므로 x›+ax€+bx-4를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 의 계수를 비교한다. 2-2  9 |해결 전략 | 우변을 전개하여 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 양변의 동류항 의하여 ÷f(1)=0, f(2)=0 ÷f(1)=0에서 1+a+b-4=0 ∴ a+b=3 ÷f(2)=0에서 16+4a+2b-4=0 ∴ 2a+b=-6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=12 다른 풀이 x›+ax€+bx-4=(x-1)(x-2)Q(x) 따라서 조립제법을 이용하면 1 2 1 1 1 a 1 0 1 1 a+1 2 3 a+7 3a+b+15 b a+1 a+b+1 2a+14 6 -4 a+b+1 a+b-3 a+b-3=0, 3a+b+15=0이므로 a=-9, b=12 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 3x€-ax-1=(b+c)x€-2(b+c)x+c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 b+c=3, 2(b+c)=a, c=-1 따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9 다른 풀이 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=c 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-a=-b 등식의 양변에 x=2를 대입하면 11-2a=c 따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9 3-1  a=-3, b=4 |해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1, x=2를 대입한다. 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=-1+a+b ∴ a+b=1 등식의 양변에 x=2를 대입하면 0=8+4a+b ∴ 4a+b=-8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=4 다른 풀이 (x+1)(x-2)f(x)=x‹+ax€+b에서 (x€-x-2)f(x)=x‹+ax€+b 이때, f(x)=x+c (c는 상수)로 놓으면 (x€-x-2)(x+c)=x‹+ax€+b 좌변을 전개하여 정리하면 x‹+(c-1)x€-(c+2)x-2c=x‹+ax€+b 양변의 동류항의 계수를 비교하면 c-1=a, c+2=0, -2c=b c=-2이므로 a=-3, b=4 …… ㉠ …… ㉡ | 45쪽~47쪽 | (k+3)x+2(1+k)y+5k-1=0의 좌변을 k에 대하여 정리하면 )k+( ) 꼴로 정리한다. STEP 3 유형 드릴 1-1  -1 |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 ( (x+2y+5)k+(3x+2y-1)=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x+2y+5=0, 3x+2y-1=0 ∴ x=3, y=-4 ∴ x+y=-1 014 정답과 해설 3-2  a=7, b=12 |해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x€=3, x=-2를 대입한다. 우변을 전개하여 정리하면 2x‹+ax€+bx+3=2x‹+(c+2)x€+(c-2)x+2c+1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 등식의 양변에 x€=3을 대입하면 0=9-3a+b ∴ 3a-b=9 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 0=16-4a+b ∴ 4a-b=16 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=12 …… ㉠ …… ㉡ a=c+2, b=c-2, 3=2c+1 c=1이므로 a=3, b=-1 ∴ a+b=2 등식의 양변에 x=1을 대입하면 32=aº+a¡+a™+ … +a¡º ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴ ab=6 4-2  -40 |해결 전략 | 주어진 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등식 ÷f(x)=x‹-(a+3)x+7이라 하면 나머지정리에 의하여 4-1  33 |해결 전략 | 주어진 등식은 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등 식이다. 주어진 등식은 x에 대한 항등식이다. 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=aº ∴ a¡+a™+a£+ … +a¡º =32-aº =32-(-1)=33 이다. 주어진 등식은 x에 대한 항등식이다. 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1=aº+a¡+a™+ … +a¡™ 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 81=aº-a¡+a™- … +a¡™ ㉠-㉡을 하면 -80=2(a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡) ∴ a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡=-40 …… ㉠ …… ㉡ 5-1  5 |해결 전략 | 나눗셈에 대한 등식을 세우고 f(1)=1임을 이용한다. 다항식 f(x)를 2x€-ax+1로 나누었을 때의 몫이 x+4, 나머지가 8x+3이므로 ÷f(x)=(2x€-ax+1)(x+4)+8x+3 이 등식의 양변에 x=1을 대입하면 ÷f(1)=(3-a)_5+11 이때, f(1)=1이므로 -5a+26=1 -5a=-25 ∴ a=5 5-2  2 |해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므 로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 2x‹+ax€+bx+3의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+2의 최고차 항의 계수가 1이므로 2x‹+ax€+bx+3을 x€+x+2로 나누었을 때의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자. 이때, 나머지가 -6x+1이므로 2x‹+ax€+bx+3=(x€+x+2)(2x+c)-6x+1 6-1  6 |해결 전략 | f(1)=2, ÷f(-1)=4임을 이용한다. ÷f(x)=x‹-ax+b에서 나머지정리에 의하여 ÷f(1)=2, f(-1)=4 ÷f(1)=2에서 1-a+b=2 ∴ a-b=-1 ÷f(-1)=4에서 -1+a+b=4 ∴ a+b=5 …… ㉠ …… ㉡ 6-2  25 |해결 전략 | ÷f(2)=f(4)임을 이용한다. ÷f(2)=f(4)이므로 8-2(a+3)+7=64-4(a+3)+7 2a=50 ∴ a=25 7-1  0 |해결 전략 | ÷f(-2)=3임을 이용하여 먼저 a의 값을 구한다. 다항식 ÷f(x)=x‹+x€+ax+1에서 나머지정리에 의하여 ÷f(-2)=3이므로 -8+4-2a+1=3, -2a=6 ∴ a=-3 따라서 ÷f(x)=x‹+x€-3x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(1)=1+1-3+1=0 7-2  -4 |해결 전략 | 나머지정리를 이용하여 a의 값을 구한 후 Q(-1)의 값을 구한다. 다항식 x‹+ax€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머 지가 -2이므로 x‹+ax€-5x+3=(x-1)Q(x)-2 …… ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1+a-5+3=-2 ∴ a=-1 따라서 ㉠은 x‹-x€-5x+3=(x-1)Q(x)-2 …… ㉡ 이때, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로 ㉡의 양변에 x=-1을 대입하면 -1-1+5+3=-2Q(-1)-2 2Q(-1)=-8 ∴ Q(-1)=-4 따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -4이다. 다른 풀이 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 x‹-x€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫 Q(x)를 구하면 1 1 -1 -5 3 0 -5 1 0 -5 -2 1 2 항등식과 나머지정리 015 따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(x)=x€-5 Q(-1)=1-5=-4 8-1  -2x+1 |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1)=-1, f(-2)=5임 을 이용한다. ÷f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 ÷f(x) =(x€+x-2)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(1)=-1, f(-2)=5 ÷f(1)=-1에서 a+b=-1 ÷f(-2)=5에서 -2a+b=5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 따라서 f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 나머지는 -2x+1이다. 8-2  -2 |해결 전략 | 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(2)=-1, f(-3)=-6임을 이용한다. ÷f(x)를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 R(x)를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 ÷f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(2)=-1, f(-3)=-6 ÷f(2)=-1에서 2a+b=-1 ÷f(-3)=-6에서 -3a+b=-6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3 따라서 R(x)=x-3이므로 R(1)=-2 9-1  -x |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1), f(3)의 값을 이용한다. f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x), (x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)Q¡(x)-2x+1 f(x)=(x-2)(x-3)Q™(x)-3 …… ㉠ …… ㉡ 이때, f(x)를 x€-4x+3, 즉 (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b ㉠에서 f(1)=-1, ㉡에서 f(3)=-3이므로 f(1)=a+b=-1, f(3)=3a+b=-3 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 따라서 구하는 나머지는 -x이다. 016 정답과 해설 9-2  x-2 |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(-2), f(2)의 값을 이용 한다. f(x)를 x€+x-2, 즉 (x+2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x), x€-7x+10, 즉 (x-2)(x-5)로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면 f(x)=(x+2)(x-1)Q¡(x)+5x+6 f(x)=(x-2)(x-5)Q™(x) …… ㉠ …… ㉡ 이때, f(x)를 x€-4, 즉 (x+2)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b ㉠에서 f(-2)=-4, ㉡에서 f(2)=0이므로 f(-2)=-2a+b=-4, f(2)=2a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 따라서 구하는 나머지는 x-2이다. …… ㉠ …… ㉡ 참고 x€+x-2=(x+2)(x-1), x€-7x+10=(x-2)(x-5)이므로 f(-2), f(1), f(2), f(5)의 값을 알 수 있다. 10-1  8 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다. ÷f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에 의 한편, xf(x-3)을 x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 …… ㉠ 하여 ÷f(1)=2 하면 …… ㉠ …… ㉡ xf(x-3)=(x-4)Q(x)+R 양변에 x=4를 대입하면 R=4÷f(1)=4_2=8 (∵ ㉠) 따라서 구하는 나머지는 8이다. 10-2  6 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다. ÷f(x)를 x€-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 ÷f(x) =(x€-3x+2)Q(x)+5x-4 =(x-1)(x-2)Q(x)+5x-4 …… ㉠ 한편, ÷÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(3_(-1)+5)=÷f(2) ㉠에서 ÷÷f(2)=6이므로 구하는 나머지는 6이다. 다른 풀이 ㉠의 양변에 x 대신 3x+5를 대입하면 ÷f(3x+5) ={(3x+5)-1}{(3x+5)-2}Q(3x+5)+5(3x+5)-4 =(3x+4)(3x+3)Q(3x+5)+15x+21 =3(x+1)(3x+4)Q(3x+5)+15(x+1)+6 =(x+1){3(3x+4)Q(3x+5)+15}+6 따라서 ÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 6이다. 11-1  4 |해결 전략 | 다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 f(a)=0이다. f(x)=x‹+ax+2가 x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(-2)=0 -8-2a+2=0 ∴ a=-3 따라서 f(x)=x‹-3x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)=8-6+2=4 3 | 인수분해 1 인수분해 개념 확인 1 ⑴ ab(5-3a€) ⑵ (1-a)(2-b) ⑶ (1+x)(1+y) 2 ⑴ (x+1)‹ ⑵ (x-3y)‹ ⑶ (x-2)(x€+2x+4) 50쪽~54쪽 11-2  4 |해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-6x+b로 놓고 인수정리와 나머지정리에 의하여 ⑷ (x+2y+z)€ f(2)=0, f(1)=-1임을 이용한다. 3 ⑴ (a+b-1)€ ⑵ (x+1)(x-1)(x€-3) f(x)=x‹+ax€-6x+b라 하면 인수정리와 나머지정리에 의하여 ⑶ (x€+2x-2)(x€-2x-2) 4 ⑴ (a+b)(b+c) ⑵ (a-b)(a+c) 5 ㈎ x-1 ㈏ 3 f(2)=0, f(1)=-1 f(2)=0에서 8+4a-12+b=0 ∴ 4a+b=4 f(1)=-1에서 1+a-6+b=-1 ∴ a+b=4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4 ∴ b-a=4 …… ㉠ …… ㉡ 1 ⑴ 5ab-3a‹b=ab(5-3a€) ⑵ 2(1-a)+b(a-1) =2(1-a)-b(1-a) ⑶ 1+x+y+xy =(1+x)+y(1+x) =(1-a)(2-b) =(1+x)(1+y) 12-1  -3 |해결 전략 | f(x)=x‹+2x€+ax+b로 놓으면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나 누어떨어지므로 f(-1)=0, f(-2)=0이다. ÷f(x)=x‹+2x€+ax+b라 하면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나누어 떨어지므로 ÷f(-1)=0, f(-2)=0 ÷f(-1)=0에서 -1+2-a+b=0 ∴ -a+b=-1 ÷f(-2)=0에서 -8+8-2a+b=0 ∴ -2a+b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 ∴ a+b=-3 2 ⑴ x‹+3x€+3x+1 =x‹+3_x€_1+3_x_1€+1‹ =(x+1)‹ ⑵ x‹-9x€y+27xy€-27y‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹ =(x-3y)‹ ⑶ x‹-8 =x‹-2‹ =(x-2)(x€+x_2+2€) =(x-2)(x€+2x+4) ⑷ x€+4y€+z€+4xy+4yz+2zx …… ㉠ …… ㉡ =x€+(2y)€+z€+2_x_2y+2_2y_z+2_z_x =(x+2y+z)€ 12-2  0 |해결 전략 | f(x)=x›+ax‹+bx€+3으로 놓으면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 f(-1)=0, f(1)=0이다. ÷f(x)=x›+ax‹+bx€+3이라 하면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1) =(X-1)€ 로 나누어떨어지므로 ÷f(-1)=0, f(1)=0 ÷f(-1)=0에서 ÷f(1)=0에서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-4 ∴ ab=0 1-a+b+3=0 ∴ -a+b=-4 …… ㉠ =(x€-1)(x€-3) X=x€ 대입 1+a+b+3=0 ∴ a+b=-4 …… ㉡ ⑶ x›-8x€+4 =(x›-4x€+4)-4x€ 3 ⑴ (a+b)€-2(a+b)+1 =X€-2X+1 a+b=X로 치환 =(a+b-1)€ X=a+b 대입 ⑵ x›-4x€+3 =X€-4X+3 x€=X로 치환 =(X-1)(X-3) =(x+1)(x-1)(x€-3) =(x€-2)€-(2x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+2x-2)(x€-2x-2) 3 인수분해 017 4 ⑴ ab+ac+b€+bc =a(b+c)+b(b+c) ⑵ a€-ab+ac-bc =c(a-b)+a(a-b) =(a+b)(b+c) =(a-b)(a+c) ⑵ (x-y)€-2(x-y)-3 =X€-2X-3 x-y=X로 치환 =(X+1)(X-3) =(x-y+1)(x-y-3) X=x-y 대입 ⑶ (a€-a)€-4(a€-a)+4 =X€-4X+4 a€-a=X로 치환 =(X-2)€ =(a€-a-2)€ X=a€-a 대입 =(a+1)€(a-2)€ STEP 1 개념 드릴 4 ⑴ x›+x€-12 =X€+X-12 x€=X로 치환 | 55쪽 | =(X+4)(X-3) =(x€+4)(x€-3) X=x€ 대입 1 ⑴ (2a-3b)€ ⑵ (6a+5b)(6a-5b) ⑶ (3a+2)(2a-1) ⑵ x›+5x€+4 =X€+5X+4 x€=X로 치환 2 ⑴ (2x+1)‹ ⑵ (5x-y)‹ ⑶ (a+4)(a€-4a+16) ⑷ (3x-2y)(9x€+6xy+4y€) ⑸ (x+2y+3z)€ ⑹ (a+b+1)€ 3 ⑴ (a+b+1)€ ⑵ (x-y+1)(x-y-3) ⑶ (a+1)€(a-2)€ 4 ⑴ (x€+4)(x€-3) ⑵ (x€+1)(x€+4) ⑶ (x€+x-1)(x€-x-1) 5 ⑴ (a+b)(a-b+c) ⑵ (a-b)(a-b+c) ⑶ (a-2c)(a+b+2c) 1 ⑴ 4a€-12ab+9b€ =(2a)€-2_2a_3b+(3b)€ =(2a-3b)€ ⑵ 36a€-25b€ =(6a)€-(5b)€ =(6a+5b)(6a-5b) ⑶ 6a€+a-2=(3a+2)(2a-1) 2 ⑴ 8x‹+12x€+6x+1 =(2x)‹+3_(2x)€_1+3_2x_1€+1‹ ⑶ x›-3x€+1 =(x›-2x€+1)-x€ =(X+1)(X+4) =(x€+1)(x€+4) X=x€ 대입 =(x€-1)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x-1)(x€-x-1) 5 ⑴ a€-b€+ac+bc =c(a+b)+a€-b€ =c(a+b)+(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b+c) ⑵ a€+b€+ac-bc-2ab =c(a-b)+a€-2ab+b€ =c(a-b)+(a-b)€ =(a-b)(a-b+c) ⑶ a€+ab-2bc-4c€ =b(a-2c)+a€-4c€ =b(a-2c)+(a+2c)(a-2c) =(a-2c)(a+b+2c) =(2x+1)‹ ⑵ 125x‹-75x€y+15xy€-y‹ =(5x)‹-3_(5x)€_y+3_5x_y€-y‹ =(5x-y)‹ ⑶ a‹+64 =a‹+4‹ =(a+4)(a€-4a+16) ⑷ 27x‹-8y‹ =(3x)‹-(2y)‹ =(3x-2y)(9x€+6xy+4y€) ⑸ x€+4y€+9z€+4xy+12yz+6zx =(x+2y+3z)€ ⑹ a€+b€+2ab+2a+2b+1 =(a+b+1)€ 3 ⑴ (a+b)€+2(a+b)+1 =X€+2X+1 a+b=X로 치환 =(X+1)€ =(a+b+1)€ X=a+b 대입 018 정답과 해설 =x€+(2y)€+(3z)€+2_x_2y+2_2y_3z+2_3z_x STEP 2 필수 유형 | 56쪽~61쪽 | =a€+b€+1€+2_a_b+2_b_1+2_1_a 01-1  ⑴ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca) ⑵ (x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y) ⑶ (2a-b+2c)€ ⑷ (x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16) |해결 전략 | 공통인수로 묶고 인수분해 공식을 이용한다. ⑴ a‹+(b-c)‹ =(a+b-c){a€-a_(b-c)+(b-c)€} =(a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca) ⑵ x‹-x€+6xy-27y‹-9y€ =x‹-(3y)‹-(x€-6xy+9y€) =(x-3y){x€+x_3y+(3y)€}-(x-3y)€ =(x-3y){(x€+3xy+9y€)-(x-3y)} =(x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y) ⑶ 4a€+b€+4c€-4ab-4bc+8ca 03-1  ⑴ (x€+2)(x+2)(x-2) ⑵ (x€+3x-6)(x€-3x-6) ⑶ (x€+3x+5)(x€-3x+5) ⑷ (x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€) |해결 전략 | x€=X로 치환하여 인수분해되지 않으면 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. = (2a)€+(-b)€+(2c)€+2_2a_(-b)+2_(-b)_2c ⑴ x›-2x€-8 =X€-2X-8 x€=X로 치환 +2_2c_2a =(X+2)(X-4) =(2a-b+2c)€ ⑷ x‹+8y‹-24xy+64 =(x€+2)(x€-4) X=x€ 대입 =(x€+2)(x+2)(x-2) =x‹+(2y)‹+4‹-3_x_2y_4 ⑵ x›-21x€+36 =(x›-12x€+36)-9x€ =(x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16) =(x€+2x-4)(x€+2x-7) X=x€+2x 대입 하고, 차수가 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. |해결 전략 | 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자에 대하여 내림차순으로 정리 02-1  ⑴ (x€+5x+8)(x€+5x-2) ⑵ (x€+2x-4)(x€+2x-7) |해결 전략 | ⑴ 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. ⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환한다. ⑴ (x€+5x+4)(x€+5x+2)-24 =(X+4)(X+2)-24 x€+5x=X로 치환 =X€+6X-16 =(X+8)(X-2) =(x€+5x+8)(x€+5x-2) X=x€+5x 대입 ⑵ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4 ={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}+4 =(x€+2x-3)(x€+2x-8)+4 =(X-3)(X-8)+4 x€+2x=X로 치환 =X€-11X+28 =(X-4)(X-7) 02-2  9 |해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;} € 이어야 한다. (x+1)(x+2)(x-4)(x-5)+k ={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+k =(x€-3x-4)(x€-3x-10)+k =(X-4)(X-10)+k x€-3x=X로 치환 =X€-14X+40+k …… ㉠ 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면 ㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로 40+k=7€ 4 k=9 참고 k=9일 때 (주어진 식) =X€-14X+49 =(X-7)€ =(x€-3x-7)€ X=x€-3x 대입 이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다. =(x€-6)€-(3x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+3x-6)(x€-3x-6) ⑶ x›+x€+25 =(x›+10x€+25)-9x€ =(x€+5)€-(3x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+3x+5)(x€-3x+5) ⑷ x›+4y› =(x›+4x€y€+4y›)-4x€y€ =(x€+2y€)€-(2xy)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€) 04-1  ⑴ (a€+b)(c-ab) ⑵ (x+3y-2)(x+y+1) ⑶ (x-y)(x-y+2z) ⑷ (a+b)(b+c)(a-c) ⑴ a€c-ab€-a‹b+bc =(a€+b)c-ab€-a‹b =(a€+b)c-ab(a€+b) =(a€+b)(c-ab) ⑵ x€+4xy+3y€-x+y-2 =x€+(4y-1)x+3y€+y-2 =x€+(4y-1)x+(3y-2)(y+1) =(x+3y-2)(x+y+1) ⑶ x€+y€-2yz+2zx-2xy =2(x-y)z+x€-2xy+y€ =2(x-y)z+(x-y)€ =(x-y)(x-y+2z) ⑷ ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a) =a€b+ab€-b€c-bc€-c€a+ca€ =(b+c)a€+(b€-c€)a-bc(b+c) =(b+c)a€+(b-c)(b+c)a-bc(b+c) =(b+c){a€+(b-c)a-bc} =(b+c)(a+b)(a-c) =(a+b)(b+c)(a-c) 3 인수분해 019 |해결 전략 | f(a)=0을 만족시키는 a의 값을 찾은 후 인수정리와 조립제법을 이 05-1  ⑴ (x-2)(x+2)(x-3) ⑵ (x-1)(x+3)(2x+1) ⑶ (x-1)(x+1)(x+2)(x+3) 용하여 인수분해한다. ⑴ f(x)=x‹-3x€-4x+12로 놓으면 f(2)=8-12-8+12=0 이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이 2 1 -3 -4 용하여 f(x)를 인수분해하면 12 2 -2 -12 0 1 -1 -6 x‹-3x€-4x+12 STEP 3 유형 드릴 | 62쪽~63쪽 | 1-1  ③ |해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다. ③ 27x‹+8y‹ =(3x)‹+(2y)‹ =(3x+2y)(A9x€-6xy+A4y€) =(x-2)(x€-x-6) =(x-2)(x+2)(x-3) ⑵ f(x)=2x‹+5x€-4x-3으로 놓으면 f(1)=2+5-4-3=0 이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용 1 2 하여 f(x)를 인수분해하면 2x‹+5x€-4x-3 =(x-1)(2x€+7x+3) =(x-1)(x+3)(2x+1) 1-2  ⑤ |해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다. ① ax-ay+3by-3bx =a(x-y)-3b(x-y) =(x-y)(a-3b) - ② (2a-3)‹=(2a)‹-3_(2a)€_3+3_2a_3€-3‹ 5 -4 -3 3 7 2 0 3 7 2 =8a‹-36a€+54a-27 이므로 8a‹-12a€+27a-27+(2a-3)‹ ③ 8x‹+1=(2x+1)(4x€-2x+1) + - ④ a€+b€+c€-2ab-2bc+2ca=(a-b+c)€ - + ⑶ f(x)=x›+5x‹+5x€-5x-6으로 놓으면 f(1)=1+5+5-5-6=0, f(-1)=1-5+5+5-6=0 이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법 을 이용하여 f(x)를 인수분해 하면 x›+5x‹+5x€-5x-6 =(x-1)(x+1)(x€+5x+6) =(x-1)(x+1)(x+2)(x+3) 1 1 -1 1 1 5 1 6 11 5 -5 -6 6 11 6 0 6 -1 -5 -6 0 5 6 2-1  ⑤ |해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. (x€+x-5)(x€+x-3)-3 =(X-5)(X-3)-3 x€+x=X로 치환 =X€-8X+12 =(X-2)(X-6) =(x€+x-2)(x€+x-6) X=x€+x 대입 =(x-1)(x+2)(x-2)(x+3) 06-1  ⑴ 100 ⑵ -27 |해결 전략 | ⑴ 103=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다. ⑵ a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다. x€-x+1 _ (x+1)(x€-x+1) x€-x+1 ⑴ 103=x로 놓으면 101€-1 103€-1 _ 103‹+1 103€-103+1 _ x‹+1 = (x-2)€-1 x€-1 = (x-1)(x-3) (x-1)(x+1) =x-3 =103-3=100 ⑵ 2€-3€+4€-5€+6€-7€ =-1_(5+9+13) =-27 020 정답과 해설 따라서 주어진 보기 중 (x€+x-5)(x€+x-3)-3의 인수가 아닌 것은 ⑤ (x-1)(x€+x-2)이다. 참고 (x-1)(x+2)(x-2)(x+3)에서 ③ x€-4=(x+2)(x-2)이므로 인수이다. ④ (x+2)(x€+x-6)=(x+2)(x-2)(x+3)이므로 인수이다. 2-2  -6 |해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. (x€-x+1)€-16(x€-x)+23 =(X+1)€-16X+23 x€-x=X로 치환 =X€-14X+24 =(X-2)(X-12) =(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) 4 a+b=-2+(-4)=-6 =(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+(6-7)(6+7) =(x€-x-2)(x€-x-12) X=x€-x 대입 3-1  41 |해결 전략 | 공통부분이 나타나도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환 5-1  2a+b+3 |해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. =(X+4)(X+6)-8 x€-5x=X로 치환 따라서 두 일차식의 합은 3-2  16 |해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;} € 이어야 한다. =(x+3y+1)€ 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면 f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)가 x-3을 인수로 가지므 6-1  3 |해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)는 x-3을 인수로 갖는 åå ㉠ 다. (주어진 식) =X€+22X+121 =(X+11)€ =(x€-8x+11)€ X=x€-8x 대입 이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다. f(x)를 인수분해하면 f(x)=(x-3)(x€+x-4) 따라서 b=1이므로 b-a=3 다른 풀이 한다. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8 ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8 =(x€-5x+4)(x€-5x+6)-8 =X€+10X+16 =(X+2)(X+8) =(x€-5x+2)(x€-5x+8) X=x€-5x 대입 4 ac+bd=(-5)_(-5)+2_8=41 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k =(x€-8x+7)(x€-8x+15)+k =(X+7)(X+15)+k x€-8x=X로 치환 =X€+22X+105+k ㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로 105+k=11€ 4 k=16 참고 k=16일 때 4-1  9 |해결 전략 | x€항을 쪼개서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. x›-7x€+9 =(x›-6x€+9)-x€ =(x€-3)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x-3)(x€-x-3) 따라서 a=1, b=-3, c=-3이므로 abc=9 4-2  -1 |해결 전략 | x€항을 더하고 빼서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. x›+9x€+25 =(x›+10x€+25)-x€ =(x€+5)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x+5)(x€-x+5) 따라서 a=5, b=-1, c=5이므로 a+b-c=-1 a€+ab-2b€+3a+3b+2 =a€+(b+3)a-(2b€-3b-2) =a€+(b+3)a-(b-2)(2b+1) ={a-(b-2)}{a+(2b+1)} =(a-b+2)(a+2b+1) (a-b+2)+(a+2b+1)=2a+b+3 5-2  4 |해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. x€+9y€+1+6xy+2x+6y =x€+2(3y+1)x+(9y€+6y+1) =x€+2(3y+1)x+(3y+1)€ x€+2Ax+A€ 꼴 따라서 a=3, b=1이므로 a+b=4 로 f(3)=0에서 27+9a-21+12=0 4 a=-2 4 f(x)=x‹-2x€-7x+12 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 3 1 -2 -7 12 3 -12 0 3 1 -4 1 x‹+ax€-7x+12=(x-3)(x€+bx-4)이므로 우변을 전개하면 x‹+ax€-7x+12=x‹+(b-3)x€-(3b+4)x+12 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 a=b-3, 7=3b+4 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1이므로 b-a=3 6-2  -6 |해결 전략 | g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)는 x-1, x+1 g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)가 x-1, x+1을 을 인수로 갖는다. 인수로 가지므로 g(1)=0, g(-1)=0 g(1)=0에서 2-5-5+a+3=0 4 a=5 4 g(x)=2x›-5x‹-5x€+5x+3 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 g(x)를 인수분해하면 g(x)=(x-1)(x+1)(2x€-5x-3) 따라서 f(x)=2x€-5x-3이므로 f(1)=2-5-3=-6 1 2 -5 -5 5 3 2 -3 -8 -3 0 -1 2 -3 -8 -3 3 -2 0 5 2 -5 -3 3 인수분해 021 주의 이다. 2x›-5x‹-5x€+5x+3=(x-1)(x+1)f(x) …… ㉠ f(1)의 값을 구하기 위해 ㉠의 양변에 x=1을 대입하지 않도록 주의한다. 왜냐하면 x=1을 대입하면 0=0_f(1)이 되어 f(1)의 값을 구할 수 없기 때문 | 복소수4 7-1  111 |해결 전략 | 11=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다. 11=x로 놓으면 11›+11€+1 11_12+1 x›+x€+1 x(x+1)+1 = = (x€+x+1)(x€-x+1) x€+x+1 =x€-x+1 =11€-11+1=111 참고 x›+x€+1=(x›+2x€+1)-x€ =(x€+1)€-x€ =(x€+x+1)(x€-x+1) 7-2  -180 |해결 전략 | a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다. 10€-12€+14€-16€+18€-20€ =(10€-12€)+(14€-16€)+(18€-20€) = (10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)+(18-20)(18+20) =-2(22+30+38)=-180 8-1  a=c인 이등변삼각형 |해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다. a‹+a€b-c€a-bc€ =b(a€-c€)+a(a€-c€) =(a€-c€)(a+b) =(a-c)(a+c)(a+b) 즉, (a-c)(a+c)(a+b)=0 이때, a>0, b>0, c>0에서 a+b+0, a+c+0이므로

a-c=0

4 a=c

따라서 1ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.

8-2  ;2!;ac

|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.

a‹-b‹+a€b-ab€+ac€+bc€ =c€(a+b)+a‹+a€b-ab€-b‹

=c€(a+b)+a€(a+b)-b€(a+b)

=(a+b)(a€-b€+c€)

즉, (a+b)(a€-b€+c€)=0

이때, a>0, b>0에서 a+b+0이므로

a€-b€+c€=0

4 b€=a€+c€

따라서 1ABC는 b를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이므로 넓이는

;2!;ac이다.

022 정답과 해설

66쪽~70쪽

1

복소수의 뜻과 그 연산

개념 확인

1 ⑴ 실수부분: ‘5, 허수부분: 0

⑵ 실수부분: -1, 허수부분: -1

⑶ 실수부분: ‘2, 허수부분: 2

⑷ 실수부분: 0, 허수부분: -4

실수: ⑴, 허수: ⑵, ⑶, ⑷

2 x=0, y=-1

3 ⑴ 3+2i ⑵ -i-‘2 ⑶ -2 ⑷ -5i

4 ⑴ 3+6i ⑵ 2-2i ⑶ -2+7i ⑷ -4

5 ⑴ -3+2i ⑵ 8+2i ⑶ 1+i ⑷ ;5!;-;5*;i

6 ⑴ 2 ⑵ 5

7 ⑴ 5-3i ⑵ 10-10i

1 ⑴ ‘5=’5+0_i이므로 ‘5의 실수부분은 ‘5, 허수부분은 0이고,

⑵ -1-i의 실수부분은 -1, 허수부분은 -1이고, -1-i는 허

‘5는 실수이다.

수이다.

⑶ ‘2+2i의 실수부분은 ‘2, 허수부분은 2이고, ‘2+2i는 허수이다.

⑷ -4i=0-4i이므로 -4i의 실수부분은 0, 허수부분은 -4이

고, -4i는 허수이다.

따라서 ⑴~⑷의 복소수 중 실수는 ⑴, 허수는 ⑵, ⑶, ⑷이다.

2 2x=0, y+1=0이므로 x=0, y=-1

3 ⑴ 3-2i’=3+2i

⑵ i-‘2 ’=-i-‘2

⑶ -2=-2+0_i이므로 -2’=-2

⑷ 5i=0+5i이므로 5i’=-5i

4 ⑴ (1+i)+(2+5i)=(1+2)+(1+5)i=3+6i

⑵ (3+i)+(-1-3i)=(3-1)+(1-3)i=2-2i

⑶ 2i-(2-5i)=(0-2)+(2+5)i=-2+7i

⑷ i-(4+i)=(0-4)+(1-1)i=-4

5 ⑴ i(2+3i)=2i+3i€=-3+2i

⑵ (1-i)(3+5i) =3+5i-3i-5i€

=3+5i-3i+5=8+2i

2

1-i

=

2(1+i)

(1-i)(1+i)

=

2(1+i)

1€-i€

=

2(1+i)

2

=1+i

2-3i

2+i

=

(2-3i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

4-2i-6i+3i€

2€-i€

=

1-8i

5

=;5!;-;5*;i

6 z=1+2i이므로 z“=1-2i

⑴ z+z“=(1+2i)+(1-2i)=2

⑵ zz“=(1+2i)(1-2i)=1-4i€=5

7 ⑴ z¡+z™’ =z¡’+z™’=(3+i)+(2-4i)

=(3+2)+(1-4)i=5-3i

⑵ z¡z™’ =z¡’_z™’=(3+i)(2-4i)

=6-12i+2i-4i€=10-10i

STEP

1

개념 드릴

| 71쪽~72쪽 |

1 ⑴ 실수부분: 3, 허수부분: 6

⑵ 실수부분: -‘5, 허수부분: 2

⑶ 실수부분: -8, 허수부분: 0

⑷ 실수부분: 0, 허수부분: 4

⑸ 실수부분: 5, 허수부분: -2

⑹ 실수부분: 0, 허수부분: -3

2 ⑴ 5+’3, ‘2

3

⑵ 9i, -‘5 i ⑶ ‘2+4i, i€-i

3 ⑴ x=-3, y=-4 ⑵ x=1, y=-;3!;

⑶ x=1, y=8 ⑷ x=-1, y=-4

4 ⑴ -3-11i ⑵ -9i+1 ⑶ 4

⑷ ‘2i ⑸ ;2!;-;3%;i ⑹ -3i-‘2

5 ⑴ 5+2i ⑵ -4 ⑶ 7+4i

6 ⑴ 1+5i ⑵ -7-7i ⑶ 1-i

7 ⑴ -5+5i ⑵ 4+3i ⑶ 6

8 ⑴ -;1£3;+;1™3;i ⑵ ‘2-i ⑶ -;2!;+ ‘3

2

i ⑷ ;5!;-

2’6

5

i

1 ⑴ 3+6i의 실수부분은 3, 허수부분은 6이다.

⑵ -‘5+2i의 실수부분은 -‘5, 허수부분은 2이다.

⑶ -8=-8+0_i이므로 -8의 실수부분은 -8, 허수부분은 0

이다.

⑷ ‘ß16i=0+4i이므로 ‘ß16i의 실수부분은 0, 허수부분은 4이다.

⑸ 5-2i의 실수부분은 5, 허수부분은 -2이다.

⑹ -3i=0-3i이므로 -3i의 실수부분은 0, 허수부분은 -3이다.

2 ⑶ i €-i=-1-i이므로 i €-i는 순허수가 아닌 허수이다.

3 ⑴ -x=3, y=-4이므로 x=-3, y=-4

⑵ x-1=0, 3y+1=0이므로 x=1, y=-;3!;

⑶ 2x+1=3, y-3=5이므로 x=1, y=8

⑷ x+y=-5, x-y=3이므로 x=-1, y=-4

4 ⑴ -3+11i’=-3-11i

⑵ 9i+1’=-9i+1

⑶ 4=4+0_i이므로 4“=4

⑷ -‘2i=0-‘2i이므로 -‘2i’=’2i

⑸ ;2!;+;3%;i

=;2!;-;3%;i

⑹ 3i-‘2 ’=-3i-‘2

5 ⑴ (3-i)+(2+3i)=(3+2)+(-1+3)i=5+2i

⑵ (4i-2)+(-2-4i) =(-2-2)+(4-4)i

=-4

⑶ 4-6i’+(3-2i) =(4+6i)+(3-2i)

=(4+3)+(6-2)i=7+4i

6 ⑴ (2+i)-(1-4i)=(2-1)+(1+4)i=1+5i

⑵ (-3-2i)-(4+5i) =(-3-4)+(-2-5)i

⑶ (5-4i)-4+3i’ =(5-4i)-(4-3i)

=-7-7i

=(5-4)+(-4+3)i=1-i

7 ⑴ (-1+3i)(2+i) =-2-i+6i+3i€

=-2-i+6i-3=-5+5i

⑵ (2-i)(1+2i) =2+4i-i-2i€

=2+4i-i+2=4+3i

⑶ (1+’5 i)(1-‘5 i) =1€-(‘5 i)€=1-5i €

=1+5=6

8 ⑴

i

2-3i

=

i(2+3i)

(2-3i)(2+3i)

=

2i+3i€

2€-(3i)€

=

-3+2i

13

=-;1£3;+;1™3;i

3

‘2+i

=

=

=

3(‘2-i)

(‘2+i)(‘2-i)

3(‘2-i)

3

=’2-i

3(‘2-i)

(‘2 )€-i€

1+’3 i

1-‘3 i

⑷ ‘3-‘2 i

‘3+’2 i

=

=

=

=-;2!;+ ‘3

(1+’3 i)€

(1-‘3 i)(1+’3 i)

-2+2’3 i

4

(‘3-‘2 i)€

(‘3+’2 i)(‘3-‘2 i)

1-2’6 i

2’6

5

5

=;5!;-

2

i

=

=

i

1+2’3 i+3i €

1€-(‘3 i) €

=

3-2’6 i+2i €

(‘3 )€-(‘2 i) €

4 복소수 023

STEP

2

필수 유형

| 73쪽~78쪽 |

01-1  ⑴ 1+10i ⑵ 10 ⑶ 7+i

|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i€=-1임을 이용한다.

⑴ i-7+(2-5i)(-1+2i) =-7+i+(-2+4i+5i-10i €)

⑵ (3+2i)€-(2+3i)€ =(9+12i+4i€)-(4+12i+9i €)

=-7+i+(-2+4i+5i+10)

=-7+i+(8+9i)

=1+10i

=(9+12i-4)-(4+12i-9)

=(5+12i)-(-5+12i)

=10

3+i

1-i

=

(3+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

3+3i+i+i€

1€-i€

=

2+4i

2

=1+2i

1+6i

i

=

(1+6i)i

i_i

=

i+6i€

i€

=

-6+i

-1

=6-i

⑵ z =(1-xi)(-4+i)

=-4+i+4xi-xi €

=(x-4)+(4x+1)i

z가 실수가 되려면 4x+1=0이어야 하므로

x=-;4!;

z가 순허수가 되려면 x-4=0, 4x+1+0이어야 하므로

∴ a=-;4!;

x=4

∴ b=4

02-2  1

|해결 전략 | a+bi (a, b는 실수)가 순허수일 때 a=0, b+0임을 이용한다.

z=(a€-1)+(a€+a)i가 순허수이려면

a€-1=0, a€+a+0이어야 하므로

a€-1=0에서 (a+1)(a-1)=0

∴ a=-1 또는 a=1

a€+a+0에서 a(a+1)+0

∴ a+-1이고 a+0

따라서 구하는 실수 a의 값은 1이다.

3+i

1-i

+

1+6i

i

=1+2i+6-i=7+i

02-3  ;2#;

참고

|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를

z=-2x€+(1+i)x+3+i=(-2x€+x+3)+(x+1)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

실수화한다.

즉, a, b가 실수일 때,

1

a+bi

=

a-bi

(a+bi)(a-bi)

=

a-bi

a€+b€

로 계산한다.

01-2  -1-5i

|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i €=-1임을 이용한다.

(1-i)(3+2i’)+i(1+i)€ =(1-i)(3-2i)+i(1+i)€

-2x€+x+3=0, x+1+0

2x€-x-3=0, x+-1

(x+1)(2x-3)=0, x+-1

∴ x=;2#;

참고

복소수 z에 대하여

❶ z€이 음의 실수이면 ➡ z는 순허수

=(3-2i-3i+2i€)+i(1+2i+i€)

❷ z€이 양의 실수이면 ➡ z는 0이 아닌 실수

=(3-2i-3i-2)+i(1+2i-1)

=1-5i+i_2i

=1-5i+2i€

=1-5i-2

=-1-5i

03-1  ⑴ x=3, y=1 ⑵ x=3, y=-1

|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

|해결 전략 | 주어진 복소수를 (실수부분)+(허수부분)i 꼴로 정리한 후, 조건을

x+y=4, x-y=2

⑴ (1+i)x+(1-i)y=4+2i에서

x+xi+y-yi=4+2i

(x+y)+(x-y)i=4+2i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1

⑵ (x+2i)(1-i)=5+yi에서

x-xi+2i-2i€=5+yi

(x+2)+(-x+2)i=5+yi

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1

02-1  ⑴ a=4, b=6 ⑵ a=-;4!;, b=4

만족시키는 x의 값을 구한다.

⑴ z =x(1+i)-2(3+2i)

=(x-6)+(x-4)i

z가 실수가 되려면 x-4=0이어야 하므로

x=4

∴ a=4

x=6

∴ b=6

024 정답과 해설

z가 순허수가 되려면 x-6=0, x-4+0이어야 하므로

x+2=5, -x+2=y

03-2  80

|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

a=-1+2i, b=2-i이므로

a+a”=(-1+2i)+(-1-2i)=-2

b+b”=(2-i)+(2+i)=4

∴ ab”+a”b+ab+a” b” =(a+a”)(b+b”)

=-2_4=-8

x

1-i

+

y

1+i

=

x(1+i)+y(1-i)

(1-i)(1+i)

=

=

x+y+(x-y)i

2

x+y

2

+

x-y

2

i

즉,

x+y

2

+

x-y

2

하여

x+y

2

=4,

=5

x-y

2

∴ x+y=8, x-y=10

두 식을 연립하여 풀면 x=9, y=-1이므로

x€-y€=81-1=80

i=4+5i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의

04-1  ⑴ ;7@; ⑵ 20

|해결 전략 | x+y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.

x+y=(-2+’3 i)+(-2-‘3 i)=-4

xy=(-2+’3 i)(-2-‘3 i)=4-3i€=4+3=7

x€+y€

(x+y)€-2xy

xy

x

y +

y

x =

xy =

(-4)€-2_7

7

=;7@;

=

⑵ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=(-4)‹-3_7_(-4)=20

참고

곱셈 공식의 변형

❶ a€+b€=(a+b)€-2ab=(a-b)€+2ab

❷ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b), a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)

식을 만들어 해결한다.

x=-1+i에서 x+1=i

양변을 제곱하면

(x+1)€=i€, x€+2x+1=-1

∴ x€+2x+2=0

따라서 주어진 식의 값은

x‹+2x€+3x+2 =x(x€+2x+2)+x+2

=x_0+x+2

=x+2

=(-1+i)+2=1+i

05-2  5

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a-b, a-b’의 값을

대입한다.

aa”-a”b-ab”+bb”=a”(a-b)-b”(a-b)

=(a-b)(a”-b”)

=(a-b)(a-b’)

=(2+i)(2-i)=4+1=5

06-1  ⑴ 1-2i ⑵ 2-i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 등식에 대입한다.

⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

5z+2z” =5(a+bi)+2(a-bi)

=5a+5bi+2a-2bi

=7a+3bi

즉, 7a+3bi=7-6i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

7a=7, 3b=-6

∴ a=1, b=-2

∴ z=1-2i

⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

(1-i)z”+2iz =(1-i)(a-bi)+2i(a+bi)

=a-bi-ai-b+2ai-2b

=(a-3b)+(a-b)i

에 의하여

a-3b=5, a-b=3

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ z=2-i

06-2  3+4i, 3-4i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 각 등식에 대입한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

04-2  1+i

|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정

즉, (a-3b)+(a-b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

05-1  -8

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을

대입한다.

ab”+a”b+ab+a” b” =a(b+b”)+a”(b+b”)

=(a+a”)(b+b”)

z+z”=(a+bi)+(a-bi)=2a

즉, 2a=6이므로 a=3

zz”=(a+bi)(a-bi)=a€+b€

즉, a€+b€=25이고 a=3이므로

b€=16

∴ b=\4

따라서 구하는 복소수 z는

z=3+4i 또는 z=3-4i

4 복소수 025

2

i의 거듭제곱 및 음수의 제곱근

개념 확인

79쪽~81쪽

1 ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ -i

2 ⑴ ‘5i ⑵ 2’2 i ⑶ -4i ⑷ -5i

3 ⑴ \2i ⑵ \’6 i ⑶ \3’3 i ⑷ \6i

4 ⑴ -2’3 ⑵ -‘7 i

1 ⑴ i⁄›=(i›)‹_i€=-1

⑵ (-i)⁄°=i ⁄°=(i ›)›_i €=i €=-1

⑶ i €‹=(i ›)fi_i ‹=i ‹=-i

2 ⑴ ‘ß-5=’5 i

⑵ ‘ß-8=’8i=2’2 i

⑶ -‘ß-16=-‘ß16 i=-4i

⑷ -‘ß-25=-‘ß25 i=-5i

3 ⑴ \’ß-4=\’4 i=\2i

⑵ \’ß-6=\’6 i

⑶ \’ß-27=\’ß27 i=\3’3 i

⑷ \’ß-36=\’ß36 i=\6i

4 ⑴ ‘ß-4_’ß-3=-‘ß4_3=-‘ß12=-2’3

⑵ ‘ß14

14

-2

‘ß-2

=-‘ß-7=-‘7 i

=-æç

STEP

1

개념 드릴

| 82쪽 |

1 ⑴ i ⑵ 4’2 i ⑶ -i ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ -2i ⑺ 0

2 ⑴ 6i ⑵ -‘ß10 ⑶ 6i ⑷ 3i ⑸ -‘2i ⑹ 3

1 ⑴ i €fi=(i ›)fl_i=i

⑵ (‘2 i)fi=(‘2 )fi_i fi=4’2_i ›_i=4’2 i

⑶ (-i)⁄‡=-i ⁄‡=-(i ›)›_i=-i

⑷ {

100

=

1

i }

1

i ⁄‚‚

=

1

(i ›)€fi

=1

⑸ i€‚+i›‚=(i›)fi+(i›)⁄‚=1+1=2

⑹ i ‡+(-i)· =i ‡-i ·=i›_i‹-(i›)€_i

=i‹-i=-i-i=-2i

+

+

+

=

-1-

+1=0

1

i

1

i €

1

i ‹

1

i ›

1

i

1

i

026 정답과 해설

2 ⑴ ‘ß-4’9=’ß(-4)_9=’ß-36=’ß36i=6i

⑵ ‘ß-2’ß-5=-‘ß2_5=-‘ß10

⑶ ‘3’ß-12=’ß3_(-12)=’ß-36=’ß36 i =6i

⑷ ‘ß-27

‘3

⑸ ‘ß10

‘ß-5

⑹ ‘ß-18

‘ß-2

=-‘ß-2=-‘2 i

=’ß-9=’9 i=3i

=’9=3

-27

3

-18

-2

=-æ√

10

-5

=æ√

=æ√

STEP

2

필수 유형

| 83쪽~85쪽 |

01-1  ⑴ 10-10i ⑵ -2i

|해결 전략 | ⑴ 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

⑵ 괄호 안의 식을 간단히 한 후 i의 거듭제곱을 계산한다.

⑴ i+2i€+3i‹+4i›+5ifi+ ! +20i 20

= (i+2i€+3i‹+4i›)+(5ifi+6ifl+7i‡+8i°)

= (i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)

+ ! +(17i 17+18i 18+19i 19+20i 20)

+ ! +(17i-18-19i+20)

=(2-2i)+(2-2i)+ ! +(2-2i)

=-i›_i+(i›)‹_i‹=-i+i‹

=-i-i=-2i

=5(2-2i)

=10-10i

⑵ 1-i

1+i

=

(1-i)€

(1+i)(1-i)

=

-2i

2

=-i

1+i

1-i

=

(1+i)€

(1-i)(1+i)

=

=i

2i

2

∴ {

5

1-i

1+i }

+{

1+i

1-i }

15

=(-i)fi+i 15

02-1  ⑴ -2’2+2i ⑵ -3+2i

|해결 전략 | a>0일 때, ‘ß-a=’a i임을 이용한다.

⑴ ‘ß-2’ß-4+’2’ß-8+ ‘8

‘å-2

8

-2

=-‘8 +’ß-16-æ√

=-2’2+’ß16i-‘4i

=-2’2+4i-2i

=-2’2+2i

⑵ ‘ß-3’ß-12+’ß-5’5+ ‘ß-27

‘å-3

=-‘ß36+’ß-25+æ√

-27

-3

-æ√

+ ‘ß27

‘å-3

27

-3

=-6+5i+’9-‘9i

=-6+5i+3-3i

=-3+2i

02-2  10

|해결 전략 | a>0일 때, ‘ß-a=’a i임을 이용하여 좌변을 계산한다.

‘ß-3’ß-27+(1+’ß-3)(1-‘ß-3)+ ‘ß32

‘å-8

=-‘ß81+(1+’3 i)(1-‘3 i)-æ√

32

-8

=-9+1-3i€-‘4 i

=-9+1+3-2i

=-5-2i

따라서 a=-5, b=-2이므로 ab=10

03-1  -a

|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 ‘a’b=-‘ßab일 때, a<0, b<0임 을 이용한다. 'a'b=-'ßab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로 a+b<0 따라서 "ƒ(a+b)€=|a+b|=-(a+b), |b|=-b이므로 "ƒ(a+b)€-|b| =-(a+b)-(-b) =-a-b+b =-a 03-2  0 |해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a 'b 을 이용한다. =-æ;bA;일 때, a>0, b<0임 =-æ;bA;, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로 'a 'b a-b>0

따라서 |-a|=|a|=a, |b|=-b, “ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b이

므로

|-a|+|b|-“ƒ(a-b)€ =a+(-b)-(a-b)

=a-b-a+b=0

1-2  8

|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

z=x€-(10+i)x+2(8+i)=(x€-10x+16)+(2-x)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

x€-10x+16=0, 2-x+0

(x-2)(x-8)=0, x+2

∴ x=8

2-1  1

|해결 전략 | a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.

(2+3i)x+(i-1)y=5(1+i)에서

(2x-y)+(3x+y)i=5+5i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x-y=5, 3x+y=5

두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1

∴ x+y=1

2-2  12

|해결 전략 | a+bi=0 (a, b는 실수)이면 a=0, b=0임을 이용한다.

(x-i)(2+6i)-(2-yi)=0에서

(2x+4)+(6x+y-2)i=0

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x+4=0, 6x+y-2=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=14

∴ x+y=12

3-1  20

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 인수분해를 이용하여 계산한다.

a=1+3i, b=1-3i에서

a+b=(1+3i)+(1-3i)=2

ab=(1+3i)(1-3i)=1+9=10

∴ a€b+ab€=ab(a+b)=10_2=20

STEP

3

유형 드릴

| 86쪽~87쪽 |

1-1  6

|해결 전략 | 주어진 복소수를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리한 후, a+bi가 실

수이면 b=0임을 이용한다.

(3+2ai)(1-4i)=(3+8a)+(2a-12)i

이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로

2a-12=0

∴ a=6

3-2  -1

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.

a=-1+’3 i, b=-1-‘3 i에서

a+b=(-1+’3 i)+(-1-‘3 i)=-2

ab=(-1+’3 i)(-1-‘3 i)=1+3=4

(a+b)€-2ab

ab

a€+b€

ab

b

a

a

b

=

+

=

=

(-2)€-2_4

4

=

4-8

4

=-1

4 복소수 027

4-1  -2i

|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정

6-1  1-2i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 각 등식에 대입한다.

식을 만들어 해결한다.

x=1-2i에서 x-1=-2i

양변을 제곱하면 (x-1)€=(-2i)€

x€-2x+1=-4

∴ x€-2x+5=0

∴ x‹-2x€+6x-1 =x(x€-2x+5)+x-1

=x_0+x-1=x-1

=-2i

4-2  9

|해결 전략 | 복소수 x의 분모를 실수화한 등식의 우변에 순허수만 남도록 식을

변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정식을 만들어 해결한다.

x=

5

2-i

=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

=

5(2+i)

5

=2+i

즉, x=2+i에서 x-2=i

양변을 제곱하면 (x-2)€=i €

x€-4x+4=-1

∴ x€-4x+5=0

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ x‹-4x€+5x+9 =x(x€-4x+5)+9

∴ z=2-i

=x_0+9=9

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

z+z”=2에서 2a=2

∴ a=1

z-z”=-4i에서 2bi=-4i

∴ b=-2

∴ z=1-2i

6-2  2-i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 등식에 대입한 후 복소수가

서로 같을 조건을 이용한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

(3+i)z+2i z” =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)

=3a+3bi+ai-b+2ai+2b

=(3a+b)+(3a+3b)i

즉, (3a+b)+(3a+3b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

에 의하여

3a+b=5, 3a+3b=3

7-1  -1

|해결 전략 | 좌변의 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

1

i

+

+

+

+ … +

2

i €

3

i ‹

4

i ›

30

i ‹‚

={

1

i

+

+

+

2

i €

3

i ‹

4

i › }+{

5

i fi

6

i fl

+

+

+

7

i ‡

8

i ° }

+ … +{

25

i €fi

26

i €fl

+

+

+

27

i €‡

29

i €·

+

30

i ‹‚

28

i €° }+

= (-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)

+ … +(-25i-26+27i+28)-29i-30

=(2+2i)+(2+2i)+ … +(2+2i)-29i-30

=7(2+2i)-29i-30

=-16-15i

따라서 a=-16, b=-15이므로 a-b=-1

=

=

=-i,

=

=-1,

i

i€

i

-1

1

-1

=

1

-i

=

i

-i€

=i,

=;1!;=1이므로

1

i€

1

i›

+

+

+

=-i-1+i+1=0

1

i›

=

=

= … =

1

i4k+1 =-i

1

i€

1

ifi

1

ifl

1

i‡

1

1

i‹

1

1

i⁄‚

1

i⁄⁄

1

i⁄€

=

=

= … =

=

=

= … =

=

=

= … =

1

i4k+2 =-1

1

i4k+3 =i

1

i4k+4 =1 (단, k는 음이 아닌 정수)

참고

1

i

1

i‹

1

i

1

i

1

i€

1

i‹

1

i›

5-1  25

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, a+b’의 값을

대입한다.

aa”+a”b+ab”+bb” =a”(a+b)+b”(a+b)

=(a+b)(a”+b”)

=(a+b)(a+b’)

a=2-3i, b=1+7i이므로

a+b=3+4i, a+b’=3-4i

∴ aa”+a”b+ab”+bb” =(a+b)(a+b’)

=(3+4i)(3-4i)

=9+16=25

5-2  12

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을

대입한다.

ab+ab”+a”b+ab’ =ab+ab”+a”b+a” b”

=a(b+b”)+a”(b+b”)

=(a+a”)(b+b”)

a=3-i, b=1+3i이므로

a+a”=(3-i)+(3+i)=6

b+b”=(1+3i)+(1-3i)=2

∴ ab+ab”+a”b+ab’ =(a+a”)(b+b”)

=6_2=12

028 정답과 해설

7-2  1

|해결 전략 | 처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 입력하여 출력하는 과정

을 10번 시행했을 때의 결과를 계산한다.

처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 z를 입력하여 출력하는

과정을 n번 시행하였을 때 출력되는 복소수를 zn이라 하면

입력하여 출력하는 과정을 1번 시행하여 나온 결과는

이와 같이 이 프로그램에 z를 입력하여 출력하는 과정을 10번 시행하

입력하여 출력하는 과정을 2번 시행하여 나온 결과는

입력하여 출력하는 과정을 3번 시행하여 나온 결과는

z¡=z(1+i)

z™=z¡(1+i)=z(1+i)€

z£=z™(1+i)=z(1+i)‹

여 나온 결과는 z(1+i)⁄‚이다.

∴ z(1+i)⁄‚=32 i

이때, (1+i)€=1+2 i-1=2i이므로

z(1+i)⁄‚=z{(1+i)€}fi=z(2 i)fi=2fii fiz=32 i_z

㉠에서 32i_z=32i이므로 z=1

따라서 이 프로그램에 처음 입력한 복소수는 1이다.

5

| 이차방정식

Review

일차방정식의 풀이

개념 확인

1 ⑴ 1 a+3일 때, x=-

2

a-3

2 a=3일 때, 해가 없다.

⑵ 1 a+-1일 때, x=a-1

2 a=-1일 때, 해가 무수히 많다.

2 ⑴ x=-2 또는 x=6 ⑵ x=;3!; 또는 x=1

…… ㉠

⑶ x=;2!; ⑷ x=-3 또는 x=2

90쪽~91쪽

8-1  ③

|해결 전략 | a+0, b+0일 때, ‘a’b=-‘ßab이면 a<0, b<0임을 이용한다. a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이므로 a<0, b<0 ① ab>0이므로 |ab|=ab

② “∂a€+|b|=|a|+|b|=-a-b

③ a+b<0이므로 |a+b|=-a-b |a|+|b|=-a-b ∴ |a+b|=|a|+|b| ④ -a>0, b<0이므로 'ß-a'b='ß-ab ⑤ 'a 'b =æç a b 8-2  ④ |해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a 'b a+0, b+0일 때, 'a 'b =-æç a b =-æ;bA;이면 a>0, b<0임을 이용한다. 이므로 a>0, b<0 ① 'a'b='ßab ② "∂a€"∂b€=|a|_|b|=a_(-b)=-ab ③ a>0, -b>0이므로 ‘a’ß-b=’ß-ab

④ -a<0, -b>0이므로 ‘ß-a’ß-b=’ßab

⑤ a-b>0이므로 “ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b

1 ⑴ (a-3)x=-2에서

1 a-3+0, 즉 a+3일 때, x=-

2

a-3

2 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x=-2

⑵ (a+1)x=(a+1)(a-1)에서

1 a+1+0, 즉 a+-1일 때,

x=

(a+1)(a-1)

a+1

=a-1

이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.

2 a+1=0,즉 a=-1일 때, 0_x=0

이를 만족시키는 x의 값은 무수히 많으므로 해가 무수히

많다.

2 ⑴ |x-2|=4에서 x-2=-4

∴ x=-2 또는 x=6

⑵ |2x-1|=x에서

1 x<;2!;일 때, 2x-1<0이므로 -(2x-1)=x, 3x=1 ∴ x=;3!; 이때, x=;3!;은 x<;2!;을 만족시키므로 해이다. 2 x>;2!;일 때, 2x-1>0이므로

2x-1=x

∴ x=1

이때, x=1은 x>;2!;을 만족시키므로 해이다.

1, 2에서 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=1

⑶ |x+1|=3x에서

1 x<-1일 때, x+1<0이므로 -(x+1)=3x, 4x=-1 ∴ x=-;4!; 그런데 x=-;4!;은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아 니다. 5 이차방정식 029 1 ⑴ (x+1)(x-3)=0 ⑵ (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 ∴ x=-2 또는 x=2 ⑶ (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 ⑷ (x+2)(3x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=;3@; ⑸ ;3$;x€-4x+3=0의 양변에 3을 곱하면 4x€-12x+9=0, (2x-3)€=0 ∴ x=;2#; (중근) ⑹ (2x+5)(2x-5)=0 ∴ x=-;2%; 또는 x=;2%; 2 ⑴ x= -3\"∂3€-4_1_1 2_1 = -3\'5 2 ⑵ x= -5\"∂5€-4_2_1 2_2 = -5\'ß17 4 ⑶ x= -(-3)\"∂(-3)€-1_1 1 =3\2'2 ⑷ x= -1\"∂1€-1_3 1 =-1\'2i ⑸ ;2!;x€-2x-3=0의 양변에 2를 곱하면 x€-4x-6=0 ∴ x= -(-2)\"∂(-2)€-1_(-6) 1 =2\'ß10 ⑹ x= -(-1)\"∂(-1)€-1_5 1 =1\2i 2 x>-1일 때, x+1>0이므로

x+1=3x, 2x=1

∴ x=;2!;

이때, x=;2!;은 x>-1을 만족시키므로 해이다.

1, 2에서 구하는 해는 x=;2!;

⑷ |x+2|+|x-1|=5에서

1 x<-2일 때, x+2<0, x-1<0이므로 -(x+2)-(x-1)=5, -2x=6 ∴ x=-3 이때, x=-3은 x<-2를 만족시키므로 해이다. 2 -20, x-1<0이므로 (x+2)-(x-1)=5, 0_x=2 이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다. 3 x>1일 때, x+2>0, x-1>0이므로

(x+2)+(x-1)=5, 2x=4

∴ x=2

이때, x=2는 x>1을 만족시키므로 해이다.

1, 2, 3에서 구하는 해는 x=-3 또는 x=2

1

이차방정식의 풀이

개념 확인

1 ⑴ x=-4 또는 x=2 ⑵ x=1-‘3

92쪽

1 ⑴ (x+4)(x-2)=0

∴ x=-4 또는 x=2

⑵ x=

-(-1)-“ƒ(-1)€-1_(-2)

1

=1\’3

STEP

2

필수 유형

| 94쪽~97쪽 |

01-1  ⑴ x=-1 또는 x=4 ⑵ x=-1\i

⑶ x=-1 또는 x=’2

|해결 전략 | 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.

| 93쪽 |

⑴ x€+x=4(x+1)에서

x€+x=4x+4, x€-3x-4=0

(x+1)(x-4)=0

∴ x=-1 또는 x=4

(x-2)€

2

=-3x+1의 양변에 2를 곱하면

(x-2)€=-6x+2

x€-4x+4=-6x+2, x€+2x+2=0

∴ x=

-1-“ƒ1€-1_2

1

=-1\i

STEP

1

개념 드릴

1 ⑴ x=-1 또는 x=3 ⑵ x=-2 또는 x=2

⑶ x=-1 또는 x=5 ⑷ x=-2 또는 x=;3@;

⑸ x=;2#; (중근) ⑹ x=-;2%; 또는 x=;2%;

2 ⑴ x=

⑵ x=

-3\’5

2

-5\’ß17

4

⑶ x=3\2’2 ⑷ x=-1\’2i

⑸ x=2\’ß10 ⑹ x=1\2i

030 정답과 해설

⑶ (‘2+1)x€-x-2-‘2=0의 양변에 ‘2-1을 곱하면

(‘2+1)(‘2-1)x€-(‘2-1)x-(2+’2 )(‘2-1)=0

⑵ x€-4x+1=2|x-2|에서

1 x<2일 때 ∴ x€-('2-1)x-'2=0 좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면 (x+1)(x-'2 )=0 ∴ x=-1 또는 x='2 02-1  ⑴ k=1, 다른 한 근: 2 ⑵ -4 |해결 전략 | 방정식 f(x)=0의 한 근이 a이면 f(a)=0을 만족시킨다. ⑴ x€+kx-3k-3=0에 x=-3을 대입하면 x€-4x+1=-2(x-2), x€-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 (∵ x<2) 2 x>2일 때

x€-4x+1=2(x-2), x€-6x+5=0

(x-1)(x-5)=0

∴ x=5 (∵ x>2)

1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=5

다른 풀이

⑴ x€+|x|-2=0에서 x€=|x|€이므로

|x|€+|x|-2=0, (|x|+2)(|x|-1)=0

∴ |x|=-2 또는 |x|=1

그런데 |x|>0이므로 |x|=1

∴ x=-1 또는 x=1

⑵ x€+(2a-1)x+a€-8=0에 x=1을 대입하면

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

03-2  2-‘2

|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의

(-3)€-3k-3k-3=0

-6k+6=0

∴ k=1

k=1을 주어진 방정식에 대입하면

x€+x-6=0, (x+3)(x-2)=0

∴ x=-3 또는 x=2

따라서 다른 한 근은 2이다.

1€+(2a-1)_1+a€-8=0

a€+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a>0)

a=2를 주어진 방정식에 대입하면

x€+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0

∴ x=-4 또는 x=1

따라서 다른 한 근은 -4이다.

진 방정식의 해이다.

x€+|2x-1|-2=0에서

1 x<;2!;일 때 x€-(2x-1)-2=0, x€-2x-1=0 ∴ x=1-'2 { 5 x<;2!;} 2 x>;2!;일 때

x€+(2x-1)-2=0, x€+2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

∴ x=1 {

5 x>;2!;}

1, 2에서 방정식의 해는 x=1-‘2 또는 x=1이므로 구하는 모든

근의 합은 2-‘2이다.

04-1  400 m€

|해결 전략 | 처음 토지의 한 변의 길이를 x m로 놓고 방정식을 세운다.

처음 토지의 한 변의 길이를 x m

(x-3) m

(x>5)라 하면 길을 제외한 토지

3 m

의 모양은 오른쪽 그림과 같다.

(x-5) m

5 m

x€-8x+15=255, x€-8x-240=0

(x+12)(x-20)=0 ∴ x=20 (∵ x>5)

따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 20 m이므로 처음 토지의 넓이는

400 m€이다.

04-2  24 cm

|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는

5 이차방정식 031

03-1  ⑴ x=-1 또는 x=1 ⑵ x=-1 또는 x=5

|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

길을 제외한 토지의 넓이가

255 m€이므로

(x-3)(x-5)=255

진 방정식의 해이다.

⑴ x€+|x|-2=0에서

1 x<0일 때 x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 (5 x<0) 2 x>0일 때

x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0

∴ x=1 (5 x>0)

1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=1

(34-x) cm이다. 또, 직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같다.

02-2  -1

|해결 전략 | x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 k의 값을 구한다.

kx€-2x+k€=0에 x=-2를 대입하면

4k+4+k€=0, (k+2)€=0

∴ k=-2

k=-2를 주어진 방정식에 대입하면

-2x€-2x+4=0, x€+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=1

따라서 k=-2, a=1이므로 k+a=-1

STEP

1

개념 드릴

| 100쪽 |

직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하

면 직사각형의 둘레의 길이가 68 cm

x cm

이므로 세로의 길이는 (34-x) cm

26 cm

(34-x) cm

이다.

직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같은 26 cm이므로

x€+(34-x)€=26€, x€+34€-68x+x€=26€

x€-34x+240=0, (x-10)(x-24)=0

∴ x=10 또는 x=24

하는 직사각형의 가로의 길이는 24 cm이다.

이때, 직사각형의 가로의 길이가 세로의 길이보다 길어야 하므로 구

3 ⑴ k>-2 ⑵ k=-2 ⑶ k<-2 1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑶ 서로 다른 두 실근 ⑷ 중근 ⑸ 서로 다른 두 허근 ⑹ 중근 ⑺ 서로 다른 두 허근 2 ⑴ k<-;4#; ⑵ k=-;4#; ⑶ k>-;4#;

1 ⑴ x€-3x-2=0의 판별식을 D라 하면

D=(-3)€-4_1_(-2)=17>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵ x€-3x+3=0의 판별식을 D라 하면

D=(-3)€-4_1_3=-3<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. ⑶ 3x€+6x+2=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=3€-3_2=3>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑷ 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=3€-9_1=0

이므로 중근을 갖는다.

이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

⑹ x€-4’2x+8=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2’2 )€-1_8=0

이므로 중근을 갖는다.

⑺ 2x€-2x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-1)€-2_1=-1<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근 ;;4Î;;=1€-5_1=-4<0 98쪽~99쪽 ⑸ 5x€+2x+1=0의 판별식을 D라 하면 2 이차방정식의 판별식 개념 확인 2 ⑴ -1, 7 ⑵ 3 1 ⑴ 2x€-2x-1=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(-1)€-2_(-1)=3>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵ x€-4x+4=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2)€-1_4=0

이므로 중근을 갖는다.

⑶ x€-x+2=0의 판별식을 D라 하면

D=(-1)€-4_1_2=-7<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 2 ⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x€+(k+1)x+2(k+1)=0의 판별식을 D라 할 때 D=(k+1)€-4_1_2(k+1)=0 k€-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0 ∴ k=-1 또는 k=7 ⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식 x€-2kx+k€-2k+6=0의 판별식을 D라 할 때 ;;4Î;;=(-k)€-1_(k€-2k+6)=0 ∴ k=3 2k-6=0 032 정답과 해설 2 x€-3x+k+3=0의 판별식을 D라 하면 D=(-3)€-4_1_(k+3)=-4k-3 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로

-4k-3>0

∴ k<-;4#; ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 -4k-3=0 ∴ k=-;4#; ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 -4k-3<0 ∴ k>-;4#;

3 2x€+4x-k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=2€-2_(-k)=4+2k

4+2k>0

∴ k>-2

⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로

4+2k=0

∴ k=-2

4+2k<0 ∴ k<-2 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로 |해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다 ⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로 -6k+4=0 ∴ k=;3@; -6k+4<0 ∴ k>;3@;

02-1  ⑴ 2, 10 ⑵ ;3&;

는 뜻이므로 판별식 D=0이다.

⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식

x€+(k-4)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

할 때

D=(k-4)€-4(k-1)=0

k€-12k+20=0, (k-2)(k-10)=0

∴ k=2 또는 k=10

⑵ (k+3)x€+(k+3)x+k-1이 이차식이므로

k+3+0

∴ k+-3

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식

(k+3)x€+(k+3)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식

을 D라 할 때

D=(k+3)€-4(k+3)(k-1)=0

| 101쪽~102쪽 |

(k+3){k+3-4(k-1)}=0

STEP

2

필수 유형

01-1  a=0, b=1

|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k

에 대한 항등식이다.

x€+2(k+a)x+k€+a€+b-1=0의 판별식을 D라 하면

(k+3)(-3k+7)=0

∴ k=-3 또는 k=;3&;

그런데 k+-3이므로 k=;3&;

;;4Î;;=(k+a)€-(k€+a€+b-1)=2ak-b+1

중근을 가지려면 D=0이어야 하므로

2ak-b+1=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

2a=0, -b+1=0

∴ a=0, b=1

01-2  ⑴ k<-2 또는 -2;3@;

|해결 전략 | 이차방정식 ax€+bx+c=0에서 실근, 허근을 따질 경우는 판별식

D=b€-4ac의 부호를 조사한다. 이때, a+0임에 주의한다.

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0이 이차방정식이므로

k+2+0

∴ k+-2

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(k-2)€-(k+2)_k=-6k+4

⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

-6k+4>0

∴ k<;3@; 그런데 k+-2이므로 k<-2 또는 -2

개념 해결의 법칙 고등 수학(상)(2023)

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